КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Властивості математичного сподівання
1°. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій величині: . Доведення. Будемо розглядати сталу як дискретну випадкову величину, яка має одне можливе значення і приймає його з ймовірністю . Отже, . 2°. Математичне сподівання алгебраїчної суми скінченого числа випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі їх математичних сподівань . Доведення. Доведення проведемо для суми. Нехай випадкові величини і задані наступними законами розподілу
Запишемо усі можливі значення . Для цього до кожного можливого значення добавимо кожне можливе значення , отримаємо , , , . Припустимо, що ці можливі значення різні і позначимо їх ймовірності відповідно через , , , . Математичне сподівання величини дорівнює сумі добутків можливих значень на їх ймовірності: або (*) Доведемо, що . Подія, яка складається з того, що прийме значення (ймовірність цієї події дорівнює ) тягне за собою подію, яка складається з того, що приймає значення або (ймовірність цієї події по теоремі додавання дорівнює ) і навпаки. Звідси і слідує, що . Аналогічно доводяться рівності , і . Підставляючи праві частини цих рівностей в співвідношення (*), отримаємо або остаточно . Аналогічно можна довести формулу для математичного сподівання різниці. Наслідок. Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків . 3°. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин і дорівнює добутку їх математичних сподівань . Доведення. Нехай незалежні випадкові величини і задані своїми законами розподілу ймовірностей:
Упорядкуємо всі значення, які може приймати випадкова величина . Для цього перемножимо всі можливі значення на кожне можливе значення , отже отримаємо: , , і . Запишемо закон розподілу добутку
Математичне сподівання дорівнює сумі добутків усіх можливих значень на їх ймовірності , або . Отже, . Наслідок. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань . Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання . Доведення. . 4°. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання дорівнює нулю . 5°. Математичне сподівання числа появи події в незалежних іспитах дорівнює добутку числа іспитів на ймовірність появи події в кожному іспиті . 6°. Математичне сподівання відносної частоти появи події в незалежних дослідах дорівнює ймовірності події .
Приклад 1. Стрілець стріляє по мішені. Число вибитих очок при одному пострілі є величина випадкова, яка характеризується наступним законом розподілу
Обчислити математичне сподівання числа вибитих очок. Розв’язання. За формулою математичного сподівання маємо: очок.
Приклад 2. При складанні приладу для точної підгонки можуть бути потрібні , , , , спроб. Число спроб є випадкова величина , яка має наступний закон розподілу:
Скільки деталей повинен мати складальник, щоб скласти приладів? Розв’язання. Обчислимо математичне сподівання числа спроб для складання одного приладу деталі. Для приладів: (деталей).
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2084; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |