Суммирование случайных погрешностей

Правила суммирования случайных погрешностей основаны на известных из теории вероятностей положениях:

а) оценка математического ожидания результирующей погрешности определяется алгебраической суммой оценок математических ожиданий составляющих;

б) оценка CKО суммарной погрешности определяется выражением

S_∑ = , (1)

где S_i - оценка СКО i-й составляющей погрешности; m - число суммируемых составляющих погрешностей; ρ_ij — коэффициент кор­реляции между i- и j-й составляющими.

При суммировании m случайных погрешностей их коэффициен­ты корреляции образуют матрицу, которая ввиду равенства ρ_ij = ρ_ij является диагональной. Так как матрица коэффициентов корреля­ции симметрична относительно главной диагонали, на которой на­ходятся значения ρ_ij = 1, то формулу (1) можно переписать в виде

S_∑ = ,

где суммирование во втором слагаемом распространяется на все те составляющие, коэффициенты корреляции которых находятся в мат­рице правее и выше главной диагонали. Их число равно m(m-l)/2.

Использование последнего уравнения и выражения (1) затрудни­тельно, так как точное значение коэффициента корреляции между со­ставляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают р = 0, если случайные составляющие можно считать независимыми (при |р| < 0,7), или р = ±1, если заметна корреляция между суммируе­мыми случайными составляющими погрешностей (при |р| > 0,7).

При необходимости точного учета коэффициента корреляции между погрешностями аргументов X_i и Xj его оценка может быть найдена по формуле

(2)

где X_ki, X_kj — элементы выборки аргументов Х_i и Х_j S(Х_i), S(X_j) - оценки СКО средних арифметических результатов измерений аргументов X_i и Xj. Оценку коэффициента корреляции можно опреде­лить и по формуле

. (3)

Полезной может оказаться формула

, (4)

основным достоинством которой является отсутствие необходимос­ти предварительного вычисления СКО составляющих X_ki и X_kj. Сле­дует отметить, что формулы (2)—(4) равнозначны.

В случае суммирования нормально распределенных случайных погрешностей результирующая погрешность измерения состоит из m случайных составляющих. Зная доверительную вероятность Р и доверительный интервал Δ_i для каждой составляющей погрешнос­ти, можно найти оценку СКО любой из них по формуле

S_i = Δ/Z_pi, (5)

где Zp_i - квантиль нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности Рi. Если значение Р для всех составля­ющих одинаково, то, используя выражения (1) и (5), получаем:

а) для коррелированных составляющих (р_ij= ±1)

S_∑ ==, (6)

где знак "±" означает, что для составляющих с положительной корреляцией величины S_i и Δ_i нужно брать со знаком "+", а для составляющих с отрицательной корреляцией-со знаком "-";

б) для независимых составляющих (ρ_ij = 0)

S_∑ = . (7)

При суммировании составляющих с нормальным законом рас­пределения результирующая погрешность также будет распределе­на нормально. Поэтому доверительный интервал суммарной погреш­ности с доверительной вероятностью Р может быть найден как Δ_∑ = Z_PS_∑. (8) С учетом (6) и (7) выражение (8) принимает вид, соот­ветственно для коррелированных и некоррелированных составляю­щих:

Δ_∑ = Δ_∑ = . (8)

Суммирование погрешностей по первой формуле называется арифметическим, а по второй - геометрическим. Действитель­ные значения коэффициентов корреляции по абсолютному значе­нию могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности, а геометрическое — заниженное, т.е. дей­ствительное значение находится в интервале между ними.

Закон распределения результирующей погрешности зависит от кон­кретных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Исходя из этого для определения доверительного интервала суммарной погрешности необходимо в каждом конкретном случае по известным законам суммируемых составляющих установить ме­рами теории вероятностей результирующий закон распределения. Зная его и соответственно квантильный множитель Z_p, можно найти доверительный интервал суммарной погрешности по формуле (7).

Возможны приближенные способы определения доверительного интервала суммарной погрешности без установления результи­рующего закона распределения.

Дата добавления: 2014-01-20