КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Численное решение линейных дифференциальных уравнений методом разложения в ряд Тейлора
Рассмотрим матричное однородное линейное дифференциальное уравнение
(2.1.1)
Одним из методов численного решения дифференциальных уравнений является разложение решения на шаге h в ряд Тейлора [2.4] относительно предыдущего момента времени t
(2.1.2)
Значения входящих в ряд Тейлора производных определим из уравнения (1):
, j = 1…r
Подставив эти значения в (2), получим:
X(t+h) = [I+Ah+A2h2/2…(Ah)r/r! …]X(t) (2.1.3)
Матричный ряд в квадратной скобке представляет собой матричнуюэкспоненту:
(2.1.4)
Таким образом, точное решение уравнения (1) на шаге можно представить в виде: X(t+h) = eAhX(t) (2.1.5)
При численном решении ряды в соотношениях (2), (3) и (4) усекаются. Порядком r метода численного решения называется максимальная степень шага h, оставляемая в разложении. Представим матричный экспоненциальный ряд в виде суммы:
eAh= e Ah+ de Ah, e Ah= I+Ah+A2h2…(Ah)r/r!, (2.1.6) de Ah= (Ah)r+1/(r+1)! +…
где e Ah- усеченная экспонента, de Ah- отбрасываемая часть экспоненциального ряда (4). Результат X (t+h) приближенного численного решения уравнения (1) на шаге h методом r -го порядка можно представить в следующем виде:
X (t+h) = [I+Ah+A2h2…(Ah)r/r!]X(t) = e AhX(t) (2.1.7)
Умножая матрицы (6) справа на X(t) с учетом (7), получим
X(t+h) = eAhX(t) = e AhX(t) + de AhX(t) = X (t+h) + dX (t+h), (2.1.8) где ошибка численного решения на шаге h или локальная ошибка метода r -того порядка равна:
dX (t+h) = de AhX(t) = [(Ah)r+1/(r+1)! +…]X(t) (2.1.9)
Для приближенной оценки локальной ошибки можно использовать соотношение dX (t+h)[ (Ah)r+1/(r+1)! ]X(t)
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 461; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |