КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Главное значение интеграла по Коши
Интегралы Фрулани. Пусть функция таких, что и . Рассмотрим интеграл: . Интегралы такого типа называются интегралами Фрулани. Для них: = . Тогда: = = = = = = = . И, следовательно = = .
Выполняя предельный переход при и получаем: . Примеры: 1) . 2)
Рассматривается промежуток [ a, b ]. Пусть и при. Тогда: · Если оба предела существуют и конечны, то интеграл сходится. · Если один из пределов существует и конечен, а другой равен бесконечности, то интеграл расходится. · Если оба предела есть ¥, то интеграл расходится, но…
Рассмотрим Полученное значение, если оно существует и конечно, называется главным значением интеграла (principal value). И говорят, что расходящийся интеграл сходится в смысле главного значения. Пример: .
РАЗДЕЛ 4. Численное интегрирование
§. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона) Задача 1. Получить формулы приближенного вычисления: а) Заменим f (x) для x Î[–a, a] постоянной величиной по значению равной значению f (x) в средней точке. Тогда . б) Заменим f (x) для x Î[–a, a] многочленом первой степени, который на концах промежутка совпадает со значениями интегрируемой функции. Тогда . в) Заменим f (x) для x Î[–a, a] многочленом второй степени, совпадающим с интегрируемой функцией на концах и в середине промежутка интегрирования: Ищем ½ . Т.е. ; И получаем: . . Задача 2. Получить формулы для вычисления . Разобьем промежуток интегрирования на n равных частей, точками х 0, х 1, х 2, …, хn. Обозначим уk = f (xk), k = 0, 1, 2, …, n; . На каждом отдельном промежутке воспользуемся полученными выше формулами для S 1, S 2, S 3 и просуммируем по всем промежуткам. Получим: ; ; . Полученные формулы носят название формул:
а) прямоугольников; б) трапеций; в) парабол (Симпсона). Эти формулы, естественно, являются приближенными и, возникает вопрос: каким должно быть выбрано n, чтобы обеспечить необходимую точность вычисленного значения интеграла?
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1345; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |