КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Понятие определённого интеграла
Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на некоторых отрезках. Формулы (1) и (2) аналогичны друг другу в том смысле, что имеют одинаковую структуру и получены в результате выполнения однотипных действий. Операция, приведшая к формулам (1) и (2) называется интегрированием функции на отрезке, а её результат число – называется определённым интегралом. Пусть произвольная функция y=f (x) непрерывна на отрезке .
Рис. 10. Разобьём на n (рис. 10) частей произвольным образом точками а = x 0, x 1, x 2,… xk, xk +1,… xn -1, xn = b. Обозначим . В каждом из элементарных промежутков выберем произвольную точку : (k =0,1,… n -1) и вычислим значение функции f (x) в этих точках: (k =0,1,… n -1). Составим сумму: (3) Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x) при данном разбиении отрезка на частичные и данном выборе промежуточных точек . Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они зависят от способа разбиения отрезка и выбора точек. Пусть разбиение отрезков делается сколь угодно мелким, т.е. . При этом очевидно число n элементарных отрезков в разбиении стремиться к бесконечности, и интегральная сумма будет каким-то образом изменяться. Если существует предел интегральной суммы (3), когда разбиение отрезка делается сколь угодно мелким, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные, ни от выбора промежуточных точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке и обозначается: . Здесь а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Таким образом, по определению:
. (4)
Из определения следует, что определённый интеграл – это число, зависящее от вида функции f (x) и от чисел a и b, но не зависящее от х 0. Теперь в рассмотренных примерах можно записать: (5) и Из формулы (5) следует геометрический смысл определённого интеграла при : определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующе криволинейной трапеции. Из определения непосредственно вытекает, что . Определение (4) интеграла сделано для случая a<b. Если a>b, то примем по определению: , а если a=b, то . Функция, для которой существует определённый интеграл на отрезке , называется интегрируемой на этом отрезке. Теорема: Функция f(x) непрерывная на отрезке , интегрируема на этом отрезке. Эта теорема даёт достаточное условие интегрируемости. Среди разрывных функций может быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции. В частности, можно доказать, что для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нём конечное число точек разрыва, существует определённый интеграл.
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 409; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |