КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Числовые ряды. Сходимость числовых рядов
Лекция 14. Ряды. Знакоположительные числовые ряды
Пусть дана некоторая бесконечная последовательность чисел . Сумма всех этих чисел называется числовым рядом или просто рядом. Числа называются членами ряда, член – общим членом ряда. Кратко числовой ряд записывают с помощью знака суммы , так: . Сумма нескольких первых подряд членов ряда называется частичной суммой. Они обозначаются следующим образом:
.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу , которое называется суммой ряда, то есть . Если последовательность частичных сумм расходится, то ряд называется расходящимся. В качестве примера рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем : . Если , то частичная сумма этого ряда находится по формуле: . Если , то для значений , и тогда получаем, что , то есть ряд будет сходиться. В случае если для значений и последовательность не имеет конечного предела, то есть ряд в этом случае будет расходиться. Ряд называется гармоническим. Покажем, что этот ряд расходится. Для этого из последовательности его частичных сумм выделим суммы с номерами и сделаем их оценку: , , . Для любого получим: и для значений . Поэтому последовательность не имеет конечного предела. В экономике бесконечные ряды и их суммы применяются, например, для решения следующей задачи. Владелец бессрочной облигации номиналом 1000 рублей каждый год получает 30 рублей. Определить истинную цену всей этой бесконечной последовательности платежей, если инфляция составляет 2% в год. С учетом инфляции через год полученные 30 рублей сейчас будут эквивалентны рублям, через два года рублям и так далее. В итоге получаем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Дата добавления: 2014-11-26; Просмотров: 391; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |