КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вопросы для самопроверки. 1. Запишите условия перпендикулярности и параллельности:
1. Запишите условия перпендикулярности и параллельности: а) прямых; б) плоскостей; в) прямой и плоскости. 2. Получите координаты точки К, делящей данный отрезок АВ в отношении . 3. Какие особенности имеет уравнение плоскости, если она: а) параллельна осям координат OX, OY, OZ; б) перпендикулярна осям координат OX, OY, OZ; в) параллельна плоскостям OXY, OXZ, OYZ? 4. Как найти точку, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно плоскости Ax+By+Cz+D=0? 5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) параллельно двум прямым с направляющими векторами а1 и а2, причем . 6. Выведите нормальное уравнение плоскости. 7. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2 параллельно вектору . 8. Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой, между двумя скрещивающимися прямыми. 9. Выведите уравнение биссектрисы угла треугольника. 10. Выведите формулу для нахождения угла между прямыми, лежащими в плоскости XOY. Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Учебники: [1, гл. 2, § 4, гл. 3, §§ 1 - 3], [10, гл. 6, §§ 1 - 5], [16, гл. 2, § 3, п. 10-13]. Самостоятельная работа: [2, №№ 7.25, 7.38, 7.54, 8.1 (1, 3, 6), 9.1 (1, 2), 9.3 (1, 4), 9.4 (1 - 3) J, [7, гл. 3, №№ 49, 50, 51, 54, 62 (1, 2), 63 (1, 2) ], [20, ч. 1, гл. 2, № 2. 247, 2.249 (1, 2), 2.256 (а), 2.257, 2.258, 2.267, 2.269 (а), 2.278, 2.279, 2.286, 2.288 (в), 4. 226, 4. 227 (в двух последних заданиях преобразование координат проводить по формулам 1.4.1 - 1.4.3) ], [28, занятие 16 (16.2.6 -16.2.7)]. Простейшими преобразованиями координат на плоскости есть преобразование поворота и параллельного переноса. Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах декартовых координат. Существует связь между координатами точки в различных системах координат.
Рис. 1.4.1 Рис. 1.4.2 Параллельный перенос. Заданы две системы координат: старая OXY и новая O1X1Y1 (рис. 1.4.1). Начало новой системы координат находится в точке O1(a,b). Старые координаты х, у точки М через новые координаты x1, y1 выражаются формулами х=х1+а, у=у1+b, (1.4.1) откуда x1=x-a, y1=y-b. (1.4.2) Поворот координатных осей. Новая система координат OX1Y1 получена поворотом старой на угол вокруг точки 0 (рис. 1.4.2). Старые координаты (х,у) точки М через новые координаты (x1,y1) выражаются формулами . . (1.4.3) В общем случае, когда заданы преобразования параллельного переноса и поворота осей координат, связь между старыми и новыми координатами имеет вид (1.4.4) Студент должен уметь общее уравнение кривой второго порядка (1.4.5) приводить к простейшему (каноническому) уравнению путем преобразования системы координат (параллельный перенос, поворот). В новой системе координат уравнением кривой (1.4.5) будет одно из следующих канонических уравнений: ‑ эллипс; ‑ гипербола; ‑ точка; ‑ сопряженная гипербола; (1,4,6) ‑ мнимый эллипс; , ‑ параболы; ‑ пара прямых; ‑ мнимая пара прямых. Общее уравнение второй степени (1.4.5) при повороте осей координат на угол преобразуется в уравнение (1.4.7) Формулы преобразования координат имеют вид (1.4.3), угол определяется по формуле , (1.4.8) причем ; ; . (1.4.9) Уравнение (1.4.7) приводится к каноническим уравнениям (1.4.6) выделением полных квадратов и применением формул параллельного переноса (1.4.1). Пример 1.4.1. Кривая второго порядка задана уравнением . Записать каноническое уравнение этой линии. Решение. В данном случае а11=3, 2а12=4, а22=0. По формуле (1.4.8) находим . Следовательно, либо . Откуда либо . В дальнейшем считаем, что . Тогда и , . По формулам (1.4.9) вычисляем , Замечание. Если предположить, что , то , , и по формулам (1-4.9) имеем: , , . Вычисленные значения sin а и cos а подставляем в формулы (1.4.3):
, . Подставим полученные выражения в исходное уравнение и преобразуем его: . В последнем уравнении выделим полные квадраты , , ; . Используя формулы (1.4.1), положим , . В новых координатах последнее уравнение имеет вид , или . Это уравнение определяет сопряженную гиперболу (действительная Рис. 1.4.3 ось OY с полуосями а=1, b=2. Построим гиперболу в новой системе координат O1X2Y2. Вначале вычислим старые координаты точки О1, в которой находится центр гиперболы. Для этой точки х2=0, у2=0. По формулам (1.4.1) находим , . С помощью формул (1.4.3) вычисляем , . Таким образом, точка О1, имеет координаты О1(2,–2). Через точку О1 проводим ось ОХ2, для которой , и ось OY2 перпендикулярно оси ОХ2. Строим гиперболу в системе координат O1X2Y2 (рис. 1.4.3).
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 445; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |