КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Площадь поверхности вращения
Решение. Длина дуги кривой
Если гладкая кривая задана уравнением у = f(x), то длина ее дуги, для которой хє[a,b], равна . Пример 4.2.7. Вычислить длину дуги кривой . Если кривая задана параметрически y = y(t), x = x(t), tє[α,β], то ее длина вычисляется по формуле . Пример 4.2.8. Вычислить длину астроиды у = sin3t, х = cos3t. Решение. Астроида - замкнутая линия, при обходе которой параметр t меняется от 0 до 2π. Так как кривая симметрична относительно осей координат, достаточно вычислить длину ее дуги, лежащей в первом квадранте. Поэтому Если кривая задана в полярной системе координат уравнением ρ = ρ(φ), φє[α,β], тогда . Пример 4.2.9. Вычислить длину дуги кардиоиды ρ = 1 + cosφ. В силу симметрии кардиоиды относительно оси ОХ достаточно вычислить длину дуги ее верхней половины, для которой φє[0,π]. Тогда
Площадь поверхности, образованной вращением кривой у = f(х), хє[a,b] вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле . Пример 4.2.10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением первой арки синусоиды у = sin х, хє[0,π] вокруг оси ОХ. Решение. Согласно приведенной выше формуле В результате интегрирования по частям получено уравнение относительно интеграла откуда . Тогда .
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 2538; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |