Моделі на адекватність

Оцінювання параметрів парної регресії та тестування

Завдання оцінювання параметрів вибіркової регресійної моделі полягає у встановленні таких числових значень , , які забезпечують мінімальні відхилення емпіричних значень залежної випадкової величини від теоретичних значень (розрахованих за рівнянням регресії). Оскільки значення відхилень можуть бути як додатними, так і від’ємними, то їх сума може бути близькою до нуля навіть при значних відхиленнях . Цього недоліку позбавлені відхилення , тому сформульовану умову представимо у такому вигляді:

. (3.17)

Оскільки , то вираз (3.17) перетвориться до вигляду

, (3.18)

де - функція двох невідомих величин ;

- емпіричні дані.

Необхідною умовою існування екстремуму функції є рівність нулеві частинних похідних і , тобто:

(3.19)

З системи нормальних рівнянь Гауса (3.19) знаходимо шукані параметри :

, (3.20)

, (3.21)

де і .

Метод знаходження параметрів , які забезпечують виконання умови (3.17), називають методом найменших квадратів (1МНК). Геометрично ідея 1МНК полягає у побудові такої прямої лінії на кореляційному полі емпіричних даних, для якої виконується умова (3.17), що відображено на рис.3.16.

Рис.3.16. Геометрична інтерпретація методу найменших квадратів

Вибіркова лінійна регресія має такі властивості:

1. Модель є незворотною, тобто із залежності неможливо знайти залежність .

2. Регресійна пряма проходить через точку із координатами , оскільки .

3. Залишки мають нульову коваріацію, тобто .

4. Знак лінійного коефіцієнта кореляції Пірсона співпадає із знаком параметра , оскільки .

5. Сума квадратів залишків є функцією від кута нахилу прямої до осі .

З економічної точки зору параметр характеризує міру впливу факторної ознаки на залежну змінну, тобто числове значення вказує, на скільки одиниць зміниться числове значення залежної змінної при збільшенні факторної ознаки на одиницю. Параметр характеризує значення залежної змінної при нульовому значенні незалежної змінної.

На основі значення параметра регресійної моделі можна обчислити коефіцієнт еластичності, який показує, на скільки відсотків зміниться результативна ознака при збільшенні факторної ознаки на 1%. Розрахунок коефіцієнта еластичності здійснюють за такою формулою:

.

Якість побудованої регресійної моделі досліджують за допомогою ряду додаткових критеріїв, які наведено у табл.3.2.

Таблиця 3.2

Критерії якості регресійної моделі

Критерії	Розрахункові формули	Зміст та оцінка
1. Середня помилка прогнозу,		Характеризує ступінь і напрям зміщення прогнозу за регресійною моделлю. При . Для МНК
2. Дисперсія поми-лок,		Характеризує ефективність оцінок параметрів регресії. На підставі дисперсії помилок обчислюють стандартне відхилення
3. Середнє абсолютне відхилення,		Характеризує ефективність оцінок параметрів регресії
4. Середня відносна процентна помилка,		Характеризує відносну точність прогнозу: якщо , то точність прогнозу висока; якщо , то точність прогнозу добра; якщо , то точність прогнозу задовільна; якщо , то точність прогнозу незадовільна

Продовження табл.3.2

5. Середня процентна помилка,		Характеризує відносну зміщеність прогнозу. При прогноз вважають незміщеним
6. Середня абсолютна помилка,		Характеризує ступінь надійності прогнозу
7. Середній квадрат помилки,		- ступінь вільності
8. Середній квадрат, що пояснює регре-сію,		-ступінь вільності . Чим ближче значення до , тим більша частка варіації ознаки пояснюється рівнянням регресії
9. Коефіцієнт ліній-ної кореляції , кореляційне відно-шення	,	При значеннях , достатньо близьких до одиниці вважаємо, що модель достатньо правильно відображає існуючий зв'язок між факторною ознакою і результатом
10.Статистичний показник – -критерій Фішера		Якщо , то модель є адекватною

Оскільки у регресійній моделі значення залежить від випадкової величини , то є випадковою величиною. Аналогічно величини і як функції від випадкових величин також будуть випадковими, а критерій Фішера матиме функцію розподілу з ступенями вільності при заданому рівні значущості .

Тестування регресійної моделі на адекватність за -критерієм Фішера здійснюють для перевірки наявності (відсутності) лінійного зв’язку між змінними у такій послідовності:

1. Розраховуємо значення -критерію:

.

2. Задаємо рівень значущості і обчислюємо ступені вільності , .

3. За таблицею розподілу функції Фішера знаходимо відповідне критичне значення -критерію з урахуванням значень ().

4. Перевіряємо виконання умови :

· якщо умова виконується, то вважається, що регресійна модель є адекватною з імовірністю існуючому зв’язку між ознаками (лінійна форма зв’язку підтверджується);

· якщо умова не виконується, то модель є неадекватною (лінійна форма зв’язку не підтверджується).

Тестування за критерієм Фішера дає змогу перевірити базову (нульову) гіпотезу проти альтернативної з метою отримання відповіді на питання щодо кращого шляху апроксимації даних – за середнім значенням , чи за регресійною моделлю , де .

Дата добавления: 2014-12-16