КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Диференціал довжини дуги
Лекція № 28 Завдання для самостійної роботи Обчислити довжини дуг ліній: 1. від до ; 2. , ; 3. , ; 4. 5. Тема: Диференціал довжини дуги. Кривизна кривої. Коло кривизни. Еволюта. Евольвента. План лекції: § 1. Диференціал довжини дуги. § 2. Кривизна кривої. Коло кривизни. Еволюта. Евольвента. Нехай криву задано параметрично: x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, де x(t), y(t) – неперервні на y(t) відрізку [α;β] функції разом з похідними x'(t), y'(t). Візьмемо на кривій (рис.1.) точку М, яка відповідає довільно вибраному значенню параметра t. Тоді крива А˘М є спрямлюваною, а довжина дуги Оскільки верхня межа в цьому інтегралі є змінною, то Рис. 1. інтеграл є функцією верхньої межі t. Отже, і s є функцією від t: s = s(t). Знайдемо похідну функції s(t). Похідна цієї функції в точці t існує і дорівнює . Звідси . Записуючи x'(t), y'(t) у вигляді х' = , у' = , дістаємо таку формулу для диференціала дуги А˘М: , або ds2 = dx2 + dy2. Користуючись останньою формулою можна надати геометричну інтерпретацію. Справді, нехай криву задано рівнянням у = f(х), де f(х) неперервна на відрізку [a;b] разом з похідною f '(х) функція. Тоді крива А˘М є спрямлюваною.(рис.2.) Візьмемо на цій кривій дві довільні точки М(х; у) і М'(х + ∆х; у + ∆у). Позначимо довжину дуги ММ' через ∆ ѕ і в точці М проведемо дотичну. Тоді d ѕ дорівнює довжині гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами dх і dу. У цьому й полягає геометричний зміст диференціала дуги З формули можна дістати формули для диференціала дуги в різних системах координат, зокрема: Рис. 2. 1) в декартовій системі координат крива задається рівнянням у = f(х), тоді dх; (1) 2) крива задана параметричними рівняннями: х = х(t), у = у(t), тоді
(2) 3) в полярних координатах крива задана рівнянням ρ = ρ(φ), тоді (3) Остільки ѕ(t) є монотонно зростаючою функцією, (ѕ'(t) > 0), то для функції ѕ = ѕ(t) (t) існує обернена функція t = ω(ѕ). Тому, підставляючи в рівняння кривої х = х(t), у = у(t) значення t, дістанемо такі рівняння: х = х(ω(ѕ)) = φ(ѕ), у = у(ω(ѕ)) = ψ(ѕ), 0 ≤ ѕ ≤ S. Це параметричні рівняння кривої, де за параметр взято вже довжину дуги – геометричну величину, яка пов’язана з кривою.
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 833; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |