Определение радиуса кривизны траектории по заданным уравнениям движения точки

Пример 1.6

Поезд движется равно замедленно по дуге окружности радиуса м и проходит путь м, имея начальную скорость км/час и конечную км/час. Определить полное ускорение поезда в начале и конце дуги, а также время движения поезда по этой дуге.

По условию движение равнопеременное. Законы равнопеременного движения имеют вид:

Запишем эти соотношения для момента времени , учитывая что :

Решая полученную систему уравнений, находим

Найдем нормальное ускорение в начальной и конечной точках:

Для вычисления модуля ускорения воспользуемся тем обстоятельством, что касательная и нормальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны:

Рассмотрим алгоритм решения такой задачи. Пусть движение точки задано в координатной форме:

Для определения радиуса кривизны траектории необходимо вычислить квадрат скорости точки и её нормальное ускорение:

Квадрат полного ускорения точки вычисляем по формуле:

Учитывая, что нормальная и касательная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, находим

Отсюда: .

Квадрат скорости точки определяем по формуле:

Для определения касательного ускорения продифференцируем по времени последнее соотношение:

или

Здесь – проекция вектора ускорения на направление вектора скорости. Заметим, что .

Дата добавления: 2014-12-25