Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Розв’язання.

Знаходимо похідну

Прирівнюємо похідну до нуля і розв’язуємо рівняння звідки дістанемо такі стаціонарні точки: .

Знаходимо похідну другого порядку .

Підставляємо у вираз для знайдені значення і :

отже є точкою максимуму, а - точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють

Відповідь:

Значення, що приймається функцією в деякій точці безлічі, на якій ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) на цій безлічі, якщо ні в якій іншій точці безлічі функція не має більшого (меншого) значення. Н. і н. з. ф. в порівнянні з її значеннями у всіх досить близьких крапках називаються екстремумами (відповідно максимумами і мінімумами) функції. Н. і н. з. ф., заданою на відрізку, можуть досягатися або в крапках, де похідна дорівнює нулю, або в крапках, де вона не існує, або на кінцях відрізання. Безперервна функція, задана на відрізку, обов'язково досягає на нім найбільшого і найменшого значень; якщо ж безперервну функцію розглядати на інтервалі (тобто відрізку з виключеними кінцями), то серед її значень на цьому інтервалі може не виявитися найбільшого або найменшого. Наприклад, функція в = x, задана на відрізку [0; 1], досягає найбільшого і найменшого значень відповідно при x = 1 і x = 0 (тобто на кінцях відрізання); якщо ж розглядати цю функцію на інтервалі (0; 1), то серед її значень на цьому інтервалі немає ні найбільшого, ні найменшого, оскільки для кожного x ₀ завжди знайдеться точка цього інтервалу, лежача правіше (лівіше) x ₀ , і така, що значення функції в цій крапці буде більше (відповідно менше), ніж в точці x ₀ . Аналогічні твердження справедливі для функцій багатьох змінних.

Дата добавления: 2014-12-26