Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование

1. Определения дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования.

Для исследования импульсных систем автоматического регулирования, а также в других прикладных задачах, связанных с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой

, (1)

где q = σ + j – комплексная переменная. Такое преобразование называется дискретным преобразованием Лапласа. Функция , определяемая приведенной выше формулой, называется изображением. Для смещенных решетчатых функций дискретное преобразование Лапласа может быть определено как

.

Наряду с дискретным преобразованием Лапласа в теории автоматического регулирования применяется так называемое z-преобразование, определяемая формулой (1), но с вводом нового обозначения z = e^q:

.

Изображения дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования связаны между собой соотношениями (принципиальной разницы между этими двумя преобразованиями нет):

и .

Для нахождения z-изображений решетчатых функций по заданному оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы.

Пример: 1[n] → , .

Необходимо отметить, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако семейство модифицированных (для смещенных решетчатых функций) z-преобразований решетчатой функции для всех ε от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

Непосредственно из определения следует, что функция является периодической вдоль мнимой оси. Поэтому достаточно изучить свойства в любой полосе шириной 2 π. Наиболее удобна для этой цели полоса – π < Im q ≤ + π, симметричная относительно действительной оси плоскости q, которую называют основной.

Рис.1.

Преобразование комплексной переменной q по формуле z = e^q переводит основную полосу плоскости q на всю расширенную плоскость комплексной переменной z. При этом отрезок мнимой оси – π < ≤ + π отображается в окружность единичного радиуса z = e ^j . Левая полуполоса Re q < 0 отображается во внутренность единичного круга | z | < 1, а правая – во внешность.

2. Обратное преобразование.

Обратное преобразование определяет решетчатую функцию по заданному изображению:

.

Обратное z-преобразование изображения выходной величины системы f [ n, ε ] = Z _ε ^-1{F(z, ε)} может быть найдено на основании формулы обращения

где z_i – полюсы функции F (z, ε); i = 1, 2,..., k.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле

а в полюсе кратности r

Дискретные значения переходного процесса могут быть найдены также путем разложения изображения выходной величины F (z, ε) в ряд Лорана по степеням z ^-1

F (z, ε) = F ₀ + F ₁ z ^-1 + F ₂ z ^-2 + F ₃ z^-3 +....

Коэффициенты этого ряда определяют значения выходной величины замкнутой импульсной системы в дискретные моменты времени t = (n + ε) T. Так как изображение F (z, ε) представляет собой отношение двух полиномов, то коэффициенты ряда F ₀, F ₁, F ₂,... могут быть получены делением полинома числителя на полином знаменателя. Следует отметить, что при малых периодах дискретности ряд сходится медленно и объем вычислительной работы очень велик.

Пример. Определить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии на выходе импульсной системы, передаточная функция которой имеет следующий вид:

.

Решение. Z-изображение входного воздействия G (z) = z /(z -1).

Следовательно,

= 0,646 z ^–1+1,25 z ^–2+1,42 z ^–3+1,34 z ^–4+1,2 z ^–5+1,11 z ^–6+1,08 z ^–7+....

Полученные коэффициенты сведены в таблицу, на основании которой на можно построить кривую переходного процесса.

Таблица значений переходного процесса

Время t = nT	Выходная величина y [ nT ]
1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T и т.д.	0,64 1,25 1,42 1,34 1,20 1,11 1,08 ...

3. Свойства z-преобразования.

Свойства z-преобразования изложены в литературе, поэтому ограничимся рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

1. Свойство линейности. Если F ₁(z, ε) = Z _ε { f ₁(t)} и F ₂(z, ε) = Z _ε { f ₂(t)}, тогда

Z _ε {a₁ f ₁(t) + a₂ f ₂(t)}= a₁ F ₁(z, ε) + a₂ F ₂(z, ε). (1)

2. Теорема сдвига (смещения). Если Z _ε { f (t)} = F (z, ε) и t – произвольное положительное число,
тогда

где , m – целая, – дробная часть числа t / T;

если t = mT, тогда

Z _ε { f (t – mT)} = Z _ε { f [ n – m ]} = z ^{­ –m} F (z, ε) (2)

или

Z _ε { f (t + mT)} = z ^m { F (z, ε) – } (3)

3. Изображение конечных разностей:

Z {Δ f [ n ]} = (z – 1) F (z) – z f [0] (4)

или для разности порядка k и нулевых начальных условиях

Z {Δ ^kf [ n ]} = (z – 1) ^k F (z) (5)

4. Изображение конечных сумм:

для полных сумм – , (6)

для неполных сумм – . (7)

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

, (8)

начальное значение функции оригинала:

. (9)

6. Свертка функций. Если F ₁(z) = Z { f ₁(t)} и F ₂(z) = Z { f ₂(t)}, то

(10)

и

(11)

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату y [ nT ] импульсной системы с ее входным воздействием f [ nT ], имеет следующий вид:

a₀ y [ n ] + a₁ y [ n -1] +...+ a_m y [ n - m ] = b₀ f [ n ] + b₁ f [ n -1] +... + b _l f [ n - l ], (12)

при m ³ l и y [ n ] º 0, f [ n ] º 0 для всех n < 0.

Применив z-преобразование к исходному уравнению, получим

a₀ Y (z) + a₁ z ^-1 Y (z) +...+ a _m z ^{- m}Y (z) = b₀ F (z) + b₁ z^-1 F (z) +... + b _l z ^{- l}F (z),

которое можно переписать в виде

A (z) Y (z) = B (z) F (z), (13)

где полиномы

и . (14)

Из (13) находим изображение выходной координаты

Y (z) = W (z) F (z), (15)

где .

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W (z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Разностное уравнение можно найти по дискретной передаточной функции в обратной последовательности.

Пример. Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у [ nT ] и входное воздействие f [ nT ] импульсной системы, заданной передаточной функцией

.

Решение. Домножим числитель и знаменатель W (z) на z ^-2. В результате получим

.

На основании последнего выражения разностное уравнение будет

a₀ y [ n ] + a₁ y [ n - 1] + a₂ y[ n - 2] = b₁ f [ n - 1] + b₂ f [ n - 2].

Его решение при нулевых начальных условиях y [ n ] º 0, f [ n ] º 0 для всех n < 0:

y [n] = [1/a₀]´{b₁ f [ n - 1] + b₂ f [ n - 2] - a₁ y [ n - 1] - a₂ y [ n - 2]}.

Полученному решению соответствует структурная схема, приведенная на рисунке.

Рис.2.Структурная схема импульсной системы

Связь между дискретным преобразованием Лапласа, z-преобразованием и собственно преобразованием Лапласа.

Справедливы формулы:

,

где F (q) – преобразование Лапласа для функции причем , где F ₁(p) – преобразование Лапласа от непрерывной функции f ₁(t).

Изображение для z-преобразование легко получить из изображения дискретного преобразования Лапласа посредством замены z = e^q.

Комплексный спектр решетчатой функции времени. Комплексный спектр решетчатой функции времени f [ n, ε ] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного w, определяемую следующим выражением:

при -¥ < w < ¥.

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении решетчатой функции произвести замену z = e ^{j wT}. Комплексный спектр решетчатой функции является периодической функцией w с периодом 2p/ T:

и, следовательно, может рассматриваться на любом интервале значений w, длина которого равна 2p/ T. В качестве такого интервала выбирают интервал

Подобно любой комплексной функции комплексный спектр может быть представлен в показательной или алгебраической форме записи:

F (e ^{j wT}, ε) = А (w, ε)´e ^{j y ( w , ε )} = U (w, ε) + j V (w, ε),

где A (w, ε), y (w, ε), U (w, ε), V (w, ε) называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции f [ n, ε ]. При фиксированном значении w спектр изображается вектором в плоскости (U, j V); при изменении w от -p/ T до +p/ T, конец вектора F (e ^{j wT}, ε) прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.

4. Передаточные функции разомкнутых импульсных систем

Как было показано выше, выходной сигнал импульсной системы может быть найден из выражения

.

В этом выражении связываются входной g и выходной y сигналы разомкнутой импульсной системы, которые представлены решетчатыми функциями.

Подвергнув данную формулу z-преобразованию, на основании свертки функций получим уравнение разомкнутой импульсной системы в изображениях:

Y (z, ε) = W (z, ε) G(z)

где Y (n, ε) = Z _ε { y [ n, ε ]}; G (z) = Z{ g [ n ]}; W (z, ε) = Z _ε { w _пнч [ n, ε ]}.

Выражение

w _пнч[ n, ε ] z ^{- n}

называется дискретной передаточной функцией разомкнутой импульсной системы.

Особенностью дискретной передаточной функции является то, что она зависит от относительного времени ε, т.е. изменяется с течением времени внутри каждого периода дискретности.

Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может быть решено при использовании передаточной функции W (z).

При практических расчетах часто представляют z-преобразование непрерывной функции w _пнч(t) в виде выражения

W(z, ε) = Z _ε { W _ПНЧ(p)}.

Таким образом, дискретная передаточная функция определяется по импульсной функции приведенной непрерывной части системы.

Для нахождения дискретных передаточных функций можно пользоваться таблицами соответствий между функциями времени, их изображениями по Лапласу и их z-изображениями.

В большинстве случаев импульсный элемент формирует прямоугольные или близкие к прямоугольным импульсы длительности T _имп = gТ, то есть импульсная функция формирующего элемента имеет вид, представленный на рисунке.

Рис.3.Выходная величина формирующего элемента

Прямоугольный импульс единичной высоты и длительности gT можно представить как

В этом случае передаточная функция формирующего элемента

Тогда расчетное соотношение для дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы будет выглядеть следующим образом

{ W _нч(p)}= W ₁(z, ε) - W _{1 g} (z, ε),

где

{ W _нч(p)};

{ W _нч(p)}.

Передаточную функцию W _{1 g} (z, ε) можно выразить через передаточную функцию W ₁(z, ε) в соответствии с теоремой сдвига. В результате при ε = 0 получим W _{1 g} (z) = z ^-1 W ₁(z, 1- g).

Частные случаи.

1. Если импульсный элемент генерирует короткие по сравнению с периодом дискретности прямоугольные импульсы, т.е. g << 1, то можно приближенно принять е^{- gТp} »1 - gTp. Тогда получим

W (z, ε) = gT Z _ε { W _НЧ(p)}.

Эта формула справедлива, если пренебречь влиянием конечной длительности импульса. В большинстве случаев для выполнения достаточно, чтобы постоянные времени непрерывной части системы были больше длительности импульса, т.е. T _i >> gТ (i = 1, 2, 3,...).

2. Импульсный элемент генерирует прямоугольные импульсы, длительность которых совпадает с периодом дискретности, т.е. g = 1 (как было показано на рисунке). Подобным образом работают, например, системы с ЦВМ. Такой формирующий элемент называется экстраполятором нулевого порядка или запоминающим элементом. Дискретная передаточная функция в этом случае будет

{ W_нч(p)} = { }.

Таким образом, расчетное соотношение для дискретной передаточной функции разомкнутой цифровой системы упрощается:

Пример.

Передаточная функция непрерывной части равна . Определить изображение по дискретному преобразованию Лапласа, соответствующее этой передаточной функции.

Решение. В соответствии с формулой, связывающей дискретное и простое преобразования Лапласа, получим

, где .

Тогда с учетом того, что , получим

или .

В случае малой длительности импульса импульсного элемента, также можно записать выражение для передаточной функции приведенной непрерывной части:

,

где постоянный коэффициент был определен ранее.

Дата добавления: 2015-04-29