Обработка результатов косвенных измерений

Пусть при косвенных измерениях величина Z рассчитывается по экспериментальным данным, полученным по m измерениям величин a_j:

. (3.2.1)

Запишем полный дифференциал функции:

. (3.2.2)

В случае слабой зависимости функции от аргументов её приращение может быть выражено в виде линейной комбинации . Согласно (3.2.2) получим:

. (3.2.3)

Каждое слагаемое в (3.2.3) представляет собой частную погрешность результата косвенных измерений.

Производные называется коэффициентами влияния соответствующих погрешностей.

Формула (3.2.3) является приближённой, т.к. учитывает только линейную часть приращений функции. В большинстве практических случаев такое приближение оправдано.

Если известны систематические погрешности прямых измерений a_j, то

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-02069639-200400-18-13  

Романов Р.И.  

формула (3.2.3) позволяет рассчитать систематическую погрешность косвенных измерений.

Если частные производные в (3.2.3) имеют разные знаки, то происходит частичная компенсация систематических погрешностей.

Если формула (3.2.3) используется для вычисления предельной погрешности, то она принимает вид:

. (3.2.4)

Рассмотрим, как, используя формулу (3.2.3), можно оценить случайную погрешность косвенных измерений.

Пусть погрешность прямых измерений имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию .

Используя (3.2.3) запишем выражения для математического ожидания и дисперсии погрешности косвенных измерений . Математические ожидания отдельных измерений складываются с учетом вклада каждого из них:

(3.2.5)

Для вычисления дисперсии воспользуемся правилом сложения погрешностей:

, (3.2.6)

где R_ki-коэффициент корреляции погрешностей . Если погрешности не коррелированны, то

(3.2.7)

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-02069639-200400-18-13  

Разраб.

Романов Р.И.  

Руковод.

Н. Контр.

Зав. каф.

Мусин И.Н.

Проверил

Разина И.С.

Обработка результатов совместныхизмерений

Лит.

Листов

КНИТУ, ТОМЛП, гр.7101-41  

3.3 Обработка результатов совместных измерений

При совместных измерениях полученные значения используются для построения зависимостей между измеряемыми величинами. Рассмотрим многофакторный эксперимент, по результатом которого должна быть построена зависимость . Предположим далее, что зависимость , то есть параметр состояния есть линейная комбинация из входных факторов. В процессе эксперимента проводится n совместных измерений для нахождения коэффициентов a_j.

В этом случае искомые величины определяются в результате решения системы линейных уравнений:

(3.3.1)

где a_j - искомые коэффициенты зависимости, которую необходимо определить, - измеряемые значения величин.

В предположении, что система уравнений (3.3.1) является точной, но значения y_j получены с погрешностями, запишем:

(3.3.2)

где - погрешность измерения y_j, тогда

. (3.3.3)

Для решения задачи мы вынуждены использовать значения . При этом, если число измерений больше числа неизвестных в уравнении (3.3.1), то система (3.3.1) не имеет однозначных решений. Поэтому уравнения системы (3.3.1) иногда называют условными.

Оценим случайную погрешность совместных измерений. Пусть погрешность имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Измерения независимы. В этом случае по аналогии с обработкой прямых измерений может быть построена

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-02069639-200400-18-13  

Романов Р.И.  

функция максимального правдоподобия:

. (3.3.4)

Для нахождения экстремума функции правдоподобия (3.3.4) воспользуемся уже известной процедурой. Прологарифмируем (3.3.4) и найдём значения, при которых функция достигает экстремума. Условие максимума функции (3.3.4) является:

. (3.3.5)

Таким образом (3.3.5) отвечает требованиям метода наименьших квадратов. Следовательно, при нормальном распределении случайной погрешности оценки по методу максимального правдоподобия и по методу наименьших квадратов совпадает.

Для нахождения оценки a_j=a_0j удовлетворяющей (3.3.5) необходимо добиться равенства нулю всех частных производных этой функции по a_j. Для каждого значения j эта оценка будет находиться из следующего уравнения:

. (3.3.6)

Система уравнений (4.3.6) является линейной относительно a_j и называется системой нормальных уравнений. Число уравнений в системе всегда совпадает с числом a_j.

Система (3.3.) решается методом определителей

,

Где D - определитель матрицы , а определитель D_j получается из определителя D заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Для нахождения оценки дисперсии результатов найдем условие максимума после логарифмирования и подставим (см. (3.1.8-3.1.10)), получим

.

Глава 4. Представление результатов измерений

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-02069639-200400-18-13  

Разраб.

Романов Р.И.  

Руковод.

Н. Контр.

Зав. каф.

Мусин И.Н.

Проверил

Разина И.С.

Формы представления результатов измерений

Лит.

Листов

КНИТУ, ТОМЛП, гр.7101-41  

4.1 Формы представления результатов измерений

Общая форма представления результата измерения в соответствии с требованиями МИ 1317–86 включает:

- точечную оценку результата измерения;

- характеристики погрешности результата измерения (или их статистические оценки);

- указание условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей [8].

В качестве точечной оценки результата измерения при измерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии.

Характеристики погрешности измерений можно указывать в единицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).

Характеристики погрешностей измерений или статистические оценки по НД:

- среднее квадратическое отклонение погрешности;

- среднее квадратическое отклонение случайной погрешности;

- нижняя граница интервала погрешности измерений;

- верхняя граница интервала погрешности измерений;

- нижняя граница интервала систематической погрешности измерений;

- верхняя граница интервала систематической погрешности измерений;

- вероятность попадания погрешности в указанный интервал.

Рекомендуемое значение вероятности Р = 0,95.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-02069639-200400-18-13  

Разраб.

Романов Р.И.  

Руковод.

Н. Контр.

Зав. каф.

Мусин И.Н.

Проверил

Разина И.С.

Нормированные формы представления результатов измерений

Лит.

Листов

КНИТУ, ТОМЛП, гр.7101-41  

Возможные характеристики погрешностей включают аппроксимации функции плотностей распределения вероятностей или статистические описания этих распределений. Функцию плотностей распределения вероятностей погрешности измерений считают соответствующей усеченному нормальному распределению, если есть основания полагать, что реальное распределение симметрично, одномодально, отлично от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует.

Если есть основания полагать, что реальное распределение погрешностей отлично от нормального, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотностей распределения вероятностей. В таком случае принятая аппроксимация функции указывается в описании результата измерений, например: "трап." (при трапециевидном распределении) или "равн." (при равновероятном).

В состав условий измерений могут входить: диапазон значений измеряемой величины, частотные спектры измеряемой величины или диапазон скоростей ее изменений; диапазоны значений всех величин, существенно влияющих на погрешность измерений, а также, при необходимости, и другие факторы.

Дата добавления: 2015-04-30