![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция №2
Построение точек эллипса Рис.5. Построить эллипс с полуосями а) Строим две соосные окружности с радиусами б) Проводим произвольный луч с началом в центре окружностей. в) Точки эллипса М получаем как точки пересечения прямой параллельной оси (Ох) и проходящей через точку пересечения луча с окружностью радиуса §2 Гипербола 1. Определение гиперболы и её уравнение Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a < ǀF1F2ǀ=2c. Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, а │ F1F2│= 2с ─ фокальным расстоянием. Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2. Для того чтобы составить уравнение гиперболы на плоскости введём ортонормированную систему координат, начало которой поместим с середину отрезка [F1F2]. Рис.6. Ось Ох расположим таким образом чтобы точки F1 и F2 принадлежали этой оси. (Рис.6) В этом случае фокусы гиперболы принимают следующие координаты F1(c;0) и F2(-c;0). Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда по определению││МF1│- │МF2││ = 2a. (1) По формуле вычисления расстояния между точками имеем:
Учитывая, что
и запишем (2) виде:
Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М1(х1;у1) удовлетворяют уравнению (4), то точка М1 принадлежит гиперболе. Пусть для точки М1(х1;у1) справедливо равенство Из (5) следует: Вычислим
Аналогично, если провести подобные преобразования для Заметим, что из (6) следует, что Рассмотрим случай, когда x > 0. В этом случае Пусть теперь х < 0. В этом случае Таким образом, уравнение (6) является уравнением гиперболы, которое называется каноническим уравнением гиперболы. [MF1] ─ называется первым фокальным радиусом гиперболы; Заметим, 2. Исследование формы гиперболы по её уравнению Пусть дан гипербола своим каноническим уравнением (6) Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим: а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют уравнению (6). => Гипербола не проходит через начало координат. б) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох: в) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оу: г) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит гиперболе. => Гипербола симметрична относительно оси Ох. д) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М2(х;-у) принадлежит гиперболе. => Гипербола симметрична относительно оси Оу. На основании г) и д) можно сделать вывод, что гипербола симметрична относительно начала системы координат.
е) Из уравнения (6) ж) Выясним вопрос о взаимном расположении гиперболы с прямой Подставив
Действительные решения этого уравнения возможны в трёх случаях: 1)
В этом случае прямая
2) Полученные результаты показывают, что если построить прямоугольник М1М2М3М4 сторонами
![]() Рис.7. Таким образом, все точки гиперболы находятся в заштрихованных на рисунке 7 областях. Заметим, что прямые ℓ1 и ℓ2 имеют уравнения: Выясним, каково поведение гиперболы по отношению к этим прямым. Так как гипербола симметричнее относительно осей координат, то достаточно рассмотреть её поведение в первой четверти.
Рис.8. Проведём произвольную прямую ℓ перпендикулярно оси х. Пусть эта прямая имеет уравнение
Таким образом, точка М имеет координаты:
Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую m. │ MN│< =>
з) Так как Учитывая симметричность гиперболы относительно осей координат, получаем изображение гиперболы (Рис.9).
Рис. 9. Точки А1, А2, ─ называют вершинами гиперболы. [A1A2] ─ действительной осью гиперболы, [B1B2] ─ называют мнимой осью гиперболы. Числа
Дата добавления: 2015-06-28; Просмотров: 581; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |