П.1 Ортогональные системы функций

Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций

П.1 Обозначения

Пространства суммируемых функций.. 62

Произведение мер. Теорема Фубини. 61

Интеграл Лебега 53

Измеримые функции 46

Лебегово продолжение меры 46

Общее понятие меры 44

Системы множеств 33

Преобразования Фурье 30

Интеграл Фурье 27

Эйлеровы интегралы 23

Равномерная сходимость ряда Фурье. Сходимость в среднем 12

Сходимость тригонометрических рядов Фурье 7

Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций 4

П.1.Ортогональные системы функций 4

П.2.Ряды Фурье по ортогональным системам функций 4

П.3.Лемма Римана 6

П.1.Частичные суммы рядов Фурье. Формула Дирихле. 7

П.2.Сходимость ряда Фурье в точке 9

П.1.Неравенство Бесселя 12

П.2.Равномерная сходимость ряда Фурье 13

Глава 2. Интегралы, зависящие от параметра 14

§1. Собственные интегралы с параметрами 14

§2. Несобственные интегралы с параметрами 15

П.1.Равномерная сходимость 15

П.2.Признаки равномерной сходимости 16

П.3.Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов 18

П.1.Гамма-функция Эйлера 23

П.2.Бета-функция Эйлера 24

П.1.Определение 27

П.2.Сходимость интеграла Фурье 27

П.3.Интеграл Фурье в комплексной форме 29

Глава 3. Основы теории меры и интеграла 33

§2 Классическая мера Лебега 36

П.1.Мера клеточных множеств 36

П.2.Мера Лебега (классическая) 37

П.3.Обобщение понятия меры 42

П.4.Мера Лебега-Стильтьеса 43

П.1.Определения 46

П.2.Действия с измеримыми функциями 48

П.3.Эквивалентность 49

П.4.Сходимость почти всюду 50

П.5.Сходимость по мере 51

П.1.Простые функции 53

П.2.Интеграл Лебега для простых функций 54

П.3.Интеграл Лебега для произвольных функций 55

П.4.Предельный переход в интеграле Лебега 58

П.5.Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры 59

П.6.Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана 60

П.1.Пространство 62

П.2. Пространство 64

Глава 1. Ряды Фурье

· - множество функций, непрерывных на [a,b].

,.

· кусочно-непрерывная на [a,b].

,, непрерывна на.

,,

Т.е. допускаются разрывы первого рода.

· кусочно-гладкая на [a,b]: кусочно-непрерывна,

т.е.,, непрерывна на и,,. Т.е. производная существует везде, кроме конечного числа точек, где существуют односторонние производные. Часто кусочно-гладкую функцию считают непрерывной.

· абсолютно интегрируема на [a,b]:

и - могут быть несобственные.

Т.е. функция может быть неограниченной, главное, чтобы интегралы существовали.

·:

,, непрерывна на и - может быть несобственный.

;.

Пространство - неполное, т.е. существует фундаментальная последовательность функций такая, что ее предел не лежит в.

- пополнение.

Пусть - множество (система) функций,,, тогда называется ортогональной системой, если ():

Система называется нормированной, если.

Если выполняются оба условия, то система называется ортонормированной.

Примеры:

1) 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x) … sin(nx), cos(nx) … - ортогональна на [0, 2 ] или [-, ].

2) 1,, …, … - ортогональна на [a, b].

3) Многочлены Лежандра:

- ортогональная на [-1, 1].

Дата добавления: 2014-01-04