Упражнения. Классификация событий. Сумма и произведение событий

Классификация событий. Сумма и произведение событий.

Лекция 53-54. Действия с вероятностями случайных событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Следствия теорем сложения и умножения вероятностей.

Упражнения.

1. В пятом классе изучается 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть 4 урока? Решить задачу в предположении, что:

а) порядок уроков важен;

б) порядок уроков не важен.

Ответ: а) 11880; б) 495.

2. Сколько различных символов можно закодировать с помощью 8-значных двоичных чисел (чисел, содержащих в своей записи лишь нули и единицы общим числом 8)?

Ответ: 256.

3. Пять девушек и пять юношей разыграли 10 мест выделенного им на концерт зрительного ряда (места с 31 по 40). Какова вероятность того, что они будут сидеть строго вперемешку (никакие две девушки и два юноши не будут сидеть рядом)?

Ответ: 1/126.

4. Найти вероятность того, что в лотерее «Спортлото 5 из 36» можно угадать:

а) все 5 номеров; б) 4 номера; в) 3 номера.

Ответ: а) 1/324632; б) 150/324632; в) 4350/324632.

5. Доказать, что вероятность того, что у двенадцати случайно выбранных человек дни рождения приходятся на разные месяцы, меньше 0,0001.

6. Сколькими различными способами можно распределить 6 различных учебников между тремя студентами по два учебника каждому?

Ответ: 90 способами.

7. Набор из 12 пирожных составляется из пирожных 5 видов. Сколькими различными способами можно составить этот набор?

Ответ: 1820 способами.

Определение 1. Два случайных события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае событие А и В называются совместными.

Пример 1. Попадание А и непопадание В одного и того же стрелка в мишень при одном выстреле – события несовместные.

Пример 2. Попадание А стрелка в мишень в первом выстреле и промах В во втором – события совместные.

Определение 2. Два случайных события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появится или не появится другое событие. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Отметим сразу, что несовместные события всегда зависимы. Действительно, пусть А и В – несовместные события. Тогда при появлении события А появление события В невозможно, а значит = 0. А при непоявлении события А появление события В возможно, и тогда ≠ 0. Таким образом, вероятность появления события В зависит от того, появится или не появится событие А. Следовательно, несовместные события А и В действительно являются зависимыми.

А вот если события А и В совместные, то они могут быть как зависимыми, так и независимыми. Подтвердим это на примере.

Пример 3. Пусть из колоды игральных карт (36 карт) вынимают наудачу одну за одной две карты. И пусть событие А состоит в том, что первая вынутая карта окажется тузом, а событие В – что и вторая карта окажется тузом. Рассмотрим два варианта испытания:

а) первая вынутая карта возвращается в колоду;

б) первая вынутая карта не возвращается в колоду.

Очевидно, что в обоих вариантах события А и В совместны. Исследуем их на зависимость –независимость.

а) В этом варианте вероятность появления события В (вынимания второго туза) не зависит, очевидно, от того, произошло или не произошло перед этим событие А (вынимание первого туза) и равна = 4/36=1/9. Следовательно, в варианте а) имеем совместные и независимые события А и В.

б) В этом варианте, если событие А произошло, то = 3/35 (останется 35 карт, и из них три туза). А если событие А не произошло (первая вынутая карта тузом не оказалась), то = 4/35 (останется 35 карт, и из них четыре туза) Следовательно, в варианте б) имеем совместные и зависимые события А и В.

Связь между совместностью-несовместностью и зависимостью - независимостью двух событий можно изобразить графически в виде схемы (1):

События А и В

Несовместные

Совместные

(1)

	Зависимые			Зависимые

Понятия совместности-несовместности и зависимости-независимости обобщаются и на случай группы из нескольких случайных событий (А₁; А₂; _…А_n)

Определение 3. События (А₁; А₂; _…А_n) называются попарно несовместными, если появление каждого из них исключает появление любого другого (то есть если любая пара из группы событий (А₁; А₂; _…А_n) несовместна). В противном случае события (А₁; А₂; _…А_n) называются совместными.

Определение 4. События (А₁; А₂; _…А_n) называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и любое другое событие, состоящее в появлении и непоявлении остальных событий, являются событиями независимыми. В противном случае события (А₁; А₂; _…А_n) называются зависимыми.

Пример 4. Пусть из коробки, содержащей три шара (синий, красный, зелёный) наудачу по одному вынимают три шара, каждый раз опуская вынутый шар в коробку. И пусть (А; В; С) – события, состоящие в вынимании последовательно синего, красного и зелёного шара. Очевидно, что эти три события – совместные и независимые в совокупности.

Если же вынутые шары в коробку не возвращать, то события (А; В; С) – совместные и зависимые.

Сумма и произведение событий

Определение 5. Суммой случайных событий (А₁; А₂; _…А_n) называется событие В

А₁ + А₂ +…. А_n = В, (2)

состоящее в появлении хотя бы одного из складываемых событий (или А₁, или А₂, … или А_n).

Таким образом, в теории вероятности знак сложения (+) означает союз «или».

Определение 6. Произведением случайных событий (А₁; А₂; _…А_n) называется событие С

А₁· А₂ ···А_n = С, (3)

состоящее в появлении всех перемножаемых событий (и А₁, и А₂, … и А_n).

Таким образом, в теории вероятности знак умножения (·) означает союз «и».

Пример 5. Пусть (А₁; А₂; А₃) – события, состоящее в попадании в мишень первого, второго и третьего стрелков соответственно. Тогда В = А₁ + А₂ + А₃ – событие, состоящее в попадании в мишень хотя бы одного из стрелков, а С = А₁ · А₂ ·А₃ – событие, состоящее в попадании в мишень всех трёх стрелков.

Суммы и произведения событий обладают следующими очевидными свойствами:

1. А+В=В+А – переместительный закон сложения.

2. (А+В)+С=А+(В+С) – сочетательный закон сложения.

3. А·В=В·А – переместительный закон умножения. (4)

4. (А·В)·С=А·(В·С) – сочетательный закон умножения.

5. (А+В)·С=А·С+В·С – распределительный закон сложения и умножения.

Свойства (4) для случайных событий полностью аналогичны соответствующим свойствам для чисел. Но есть и отличные свойства:

1) А+А=А; 2) А·А=А; 3) (А+В)·А=А; 4) (АВ)·А=АВ. (5)

(продумайте эти свойства самостоятельно).

Определение 7. Символом Ā обозначается событие, противоположное событию А. То есть Ā – это непоявление события А.

Пример 6. Если событие А – попадание стрелка в мишень, то событие Ā – его промах по мишени. Если А – выпадение орла при бросании монеты, то Ā – выпадение решки. Если А – выпадение пятёрки при бросании игральной кости, то Ā – выпадение любой другой цифры. Если событие А – попадание брошенной точки на одноимённую область А (рис.1.1), то событие Ā – непопадание в эту область. И так далее. Очевидно, что

= 1- , откуда = 1- (6)

Последнее равенство (6) является ещё одной формулой для подсчета вероятностей случайных событий. Ею удобно пользоваться в тех случаях, когда вероятность противоположного события Ā найти проще, чем вероятность самого события А.

Пример 7. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной из них не выпадет шестёрка.

Решение. В данной задаче испытание – это бросание двух костей, а событие А – это невыпадение шестёрки хотя бы на одной из них. Событию А благоприятствуют, очевидно, много различных исходов испытания (например, 2-5; 3-6; 6-1, и т.д). И лишь один исход (6-6) благоприятствует событию Ā, противоположному событию А (событие Ā – это выпадение двух шестёрок). Так как всех возможных исходов испытания, очевидно, 36, то по классической формуле

= 1/36.

Значит, по формуле (6) получаем:

= 1 - = 1 - 1/36 = 35/36.

Событие А (любое) и ему противоположное событие Ā обладают следующими очевидными свойствами:

1) А+Ā – достоверное событие; p(А+Ā) = 1.

2) А·Ā – невозможное событие; p(А·Ā) = 0. (7)

1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что:

а) Сумма выпавших очков будет больше 10?

б) Сумма выпавших очков будет не больше 10?

Ответ: а) 1/12; б) 11/12.

2. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что

а) Произведение выпавших очков будет чётным?

б) Произведение выпавших очков будет нечётным?

Ответ: а) 3/4; б) 1/4.

3. Какова вероятность того, что первые три встречные прохожие:

а) Родились в один день?

б) Родились в разные месяцы?

в) Родились летом?

г) Хотя бы один из них родился летом?

д) Никто из них летом не родился?

Ответ: а) 1/144; б) 55/72; в) 1/64; г) 37/64; д) 27/64.

Дата добавления: 2013-12-13