Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Для решения неоднородного уравнения (32.1) применим метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Предположим, что общее решение уравнения (32.1) имеет форму (32.2), в которой С – не постоянная, а неизвестная функция аргумента х: .

Тогда . Подставив эти выражения в уравнение (32.1), получим: + р(х) = f(x), откуда

(32.8)

Замечание. При решении конкретных задач удобнее не использовать в готовом виде формулу (32.8), а проводить все указанные преобразования последовательно.

Пример

Найдем общее решение уравнения у′ = 2 х (х ² + y).

Решение.

Представим уравнение в виде:

y′ - 2 xy = 2 x³

и решим соответствующее однородное уравнение:

y′ - 2 xy = 0.

.

Применим метод вариации постоянных: пусть решение неоднородного уравнения имеет вид:

, тогда .

Подставим полученные выражения в уравнение: . Следовательно, ,

При этом общее решение исходного уравнения .

К линейным уравнениям можно свести с помощью замены некоторые другие дифференциальные уравнения, например, уравнение Бернулли:

(32.9)

Разделив на у^п, получим: , а замена z = y ^{1- n}, приводит к линейному уравнению относительно z:

.

Пример

Решение.

.

Сделаем замену:

. Относительно z уравнение стало линейным: .

Решим однородное уравнение:

.

Применим метод вариации постоянных:

.

Подставим эти результаты в неоднородное уравнение:

Окончательно получаем:

Дополним это общее решение частным решением у = 0, потерянным при делении на у ⁴.

Дата добавления: 2014-01-04