КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Def 28. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом
Def 25. Кольцом называется полукольцо, в котором выполнимо обратимость сложения (т.е. есть q). Полукольца. Def 24. Непустое множество м с двумя ассоциативными бинарными операциями f12 и f22, связанными законами дистрибутивности: f22 (f12 (x,y)) = f12 (f22 (x,z) f(y,z)). Пример. (a+b)´ c = a´ c + b´ c; a´ (b+c) = a´ b + a´ c. Замечание. Обычно полагают, что сложение коммутативно и существует нуль 0, для которого а+0 = а при любых а. Пример. ‹Zt, +, ´, 0› - полукольцо. Иначе: алгебра ‹M, f12, f22›, которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению – абелевой группой, причём операции f12 и f22 связаны законами дистрибутивности, называется кольцом. Примеры. ‹D, +, ´ ›, ‹Z, +, ´ ›, ‹Q, +, ´ ›. Действительно, для этих алгебр выполняются аксиомы кольца ‹M, +, ´, e, q›;
Из первых трёх свойств ясно, что элементы множества вещественных чисел D (всех целых чисел Z, всех рациональных чисел Q) образуют абелеву группы относительно сложения. Нуль 0этой группы относительно умножения является "поглощающим" элементом, т.е. a*0=0*a=0 для любого элемента a кольца. Def 26. Множество А элементов кольца M называется подкольцом, если АÍ М само является кольцом. Пример. ‹Z,+,*›, ‹Q,+,*› есть подкольцо кольца ‹D,+,*›. Def 27. Подкольцо ‹P,+,*› кольца ‹M,+,*› называется левым (правым или двусторонним) идеалом, если для любых элементов xÎ P и yÎ M произведение y*x (соответственно x*y) лежит в Р.
Замечание. 1) элементы x,yÎ M называются сравнимыми по идеалу p, если y-xÎ p 2) всякий идеал определяет на множестве М отношение эквивалентности. Иначе: телом называется кольцо из уравнений a*x=b и y*a=b при a¹ 0 имеет единственное решение. Пример. Всякая конечномерная алгебра без делителей нуля есть тело. Def 29. Коммутативное тело называется полем (т.е. это тело у которого мультипликативная группа абелева). Пример. Множество всех действительных (рациональных, комплексных) чисел есть поле относительно естественных операций сложения и умножения. Замечание 1. Поле называют полем Галуа, если мощность его множества М конечна, т.е. если ÷ М÷ =n, nÎ N. 2. Все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы - абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля) Алгебра множеств (алгебра Кантора). Def 30. Алгеброй множеств ‹b (М)È,Ç,Ø › называют непустую совокупность подмножеств некоторого универсума М замкнутая относительно булевых операций – пересечения (мультипликативная операция), объединения ( аддитивная операция) и дополнения (унарная операция), производимых в конечном числе. Для операций алгебры Кантора выполняются следующие аксиомы (тождества, законы) для подмножеств Mi,Mj,MkÍ M:
Замечания. 1)приведенные тождества можно установить (но не доказать!) с помощью диаграмм Венна.
2) Алгебра Кантора по аддитивной операции È и мультипликативной операции Ç является абелевой полугруппой (т.к. для этих операций выполняются только законы коммутативности и ассоциативности). Алгебра множеств не является группой, поскольку уравнения МIÇ X=MJ и МIÈ X=MJ не имеют решения для случая, когда множества не пересекаются: МJÇ MI=Æ. Именно поэтому эта алгебра по двуместным операциям È и Ç не является кольцом. Алгебра Кантора принадлежит к классу булевых алгебр. 3) Отличие алгебры чисел ‹N,+,*› от алгебры множеств ‹b (M),Ç,È,-› заключается в различных отношениях между элементами множества: для чисел может быть только три отношения вида: a‹b, a=b, b‹a (a, bÎ N);
Mi Ì Mj; Mi =Mj; Mj Ì Mi; Mi Ç Mj=Æ; Mi Ç Mj¹ Æ . 4) если МI,МJ,МK – нечеткие подмножества универсума М, то для них удовлетворяются все тождества алгебры Кантора, за исключением двух: 5) тождества алгебры множеств можно преобразовывать и упрощать в различные соотношения, содержащие множества.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 960; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |