![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Затем из каждого оставшегося уравнения вида
вычитается полученное уравнение (3), умноженное на коэффициент ai1. В итоге, после выполнения первого шага прямого хода система уравнений примет следующий вид
где
На втором шаге указанные выше действия повторяются над (n - 1) уравнениями системы (4), всеми кроме первого, с целью исключения переменной x2, где
В итоге получим
где Повторяя шаги прямого хода (n - 1) раз, окончательно получим систему уравнений треугольного вида
где
При программной реализации прямого хода используется расширенная матрица коэффициентов A¢
для которой элементы имеют следующий смысл
1) 2) 3)
Для определения элементов ( используются следующие расчетные формулы
Обратный ход метода Гаусса. После приведения исходной системы уравнений (1) к треугольному виду (5) вычисляются значения корней по следующим формулам
Таким образом, расчетные формулы обратного хода имеют вид
6. Итерационные методы
При решении систем уравнений высокого порядка
Итерационные методы используют особенности разреженных матриц коэффициентов, поскольку ненулевые элементы вычисляются по специальным выражениям по мере необходимости. Поэтому для их реализации требуется меньшее количество вычислительных операций (около n2) и соответствующих затрат машинного времени. Важным преимуществом итерационных методов также является несущественное влияние погрешностей вычислений, так как любое ошибочное приближение может рассматриваться как новый начальный вектор. Метод последовательных приближений Якоби (итераций). Пусть дана система линейных уравнений, для которой диагональные элементы
Тогда переменную x1 можно выразить через первое уравнение,
где
Система (10) называется системой линейных уравнений, приведенной к нормальному виду. Матричная форма записи такой системы представляется как
где При решении системы (11) за нулевое приближение корней может быть принят столбец свободных членов, т.е.
Если последовательность приближений
Вычисления продолжаются до тех пор, пока значения
где e - некоторое заданное положительное число, характеризующее точность (погрешность) определения корней системы уравнений. Метод Зейделя Метод Зейделя представляет собой модификацию метода последовательных приближений. При определении значения переменной
Пусть дана линейная система уравнений (10). Выбранные начальные приближения корней
Для определения
Аналогично определяются приближения корней
В общем случае получение значений неизвестных
При использовании обозначений исходной системы уравнений (1) итерационная формула обычно записывается как
Условие завершения итерационного процесса по методу Зейделя также формулируется в виде соотношения (12). При этом, как правило, процесс сходится к единственному решению быстрее, чем при использовании метода последовательных приближений Якоби. Условия сходимости итерационных процессов. Пусть дана приведенная к нормальному виду система (11) линейных уравнений. Итерационные процессы последовательных приближений и Зейделя для системы (11) сходятся к единственному решению независимо от выбора начального приближения, если выполняется хотя бы одно из следующих условий
Приведенные соотношения означают, что сумма модулей элементов любой строки или любого столбца матрицы a должна быть меньше единицы. Таким образом, для сходимости указанных итерационных процессов достаточно, чтобы значения элементов aij матрицы a при i ¹ j были небольшими по абсолютной величине. Можно показать, что для линейной системы вида (2) итерационные процессы последовательных приближений и Зейделя сходятся к точному решению X*, если для всех уравнений системы модули диагональных коэффициентов исходной системы удовлетворяют условиям
и по крайней мере для одного из уравнений выполняется соотношение
Линейную систему (2) можно заменить такой эквивалентной системой нормального вида (11), которая удовлетворяет условиям сходимости итерационных процессов. Для этого используются следующие элементарные преобразования:
1) перестановка двух строк или столбцов; 2) умножение всех элементов какой-либо строки на одно и то же число, отличное от нуля; 3) сложение элементов какой-либо строки с соответствующими элементами другой строки, умноженными на одно и то же число.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 329; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |