КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Достаточные условия разложения функции в степенной ряд
Пусть дан степенной ряд , радиус сходимости которого R>0. Следовательно, в интервале сходимости ряд сходится к некоторой функции S(x), т.е. S(x)= = Задача: Зная функцию S(x), найти коэффициенты соответствующего степенного ряда. Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз. Поэтому будем иметь: , , Отсюда вытекает, что необходимым условием разложения функции f(x) в степенной ряд по степеням является бесконечная дифференцированность функции в точке , т.е , где (1) Степенной ряд в соотношении (1) называется рядом Тейлора функции f(x), а - коэффициенты ряда Тейлора. Если в степенном ряде (1) = 0, то ряд называется рядом Маклорена для функции f(x) Однако существуют функции, которые бесконечно дифференцируемы в точке , но соответствующий степенной ряд сходится к f(x) только в одной точке и такие функции представлять степенным рядом не имеет смысла. Для того, чтобы в соотношении (1) имею место равенство в некотором интервале функция f(x) кроме бесконечной дифференцируемости в точке должна удовлетворять дополнительным условиям. Теорема 1. (Достаточные условия разложения функции в степенной ряд). Если на отрезке все производные функции по модулю ограничены одним числом, , то f(x) разлагается в ряд Тейлора, который сходится к f(x) на отрезке Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию у= . Решение. Функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси и . Имеем . По теореме 1 функция y=разлагается в ряд Маклорена, который на отрезке [-A, A] сходится к данной функции. , (-∞,+∞) (2) Так как А- произвольное, то равенство (2) справедливо для любого
Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию y=sinx.
Решение. y’(x)=cosx, y’’(x)=-sinx, y’’’(x)=-cosx, ,…, следовательно и функция y=sinx разлагается в ряд Маклорена , который сходится к функции y=sinx. . Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию y=cosx. Решение. . Функция y=cosx разлагается в ряд Маклорена, который сходится к функции y=cosx . . Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию y=ln(1+x) Решение. Имеем: , где|x|<1. Полученное равенство почленно проинтегрируем |x|<1. |x|<1. Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию y=arctgx. Решение. |x|<1. Полученное равенство почленно проинтегрируем при |x|<1. |x|<1. |x|<1. Пример 6. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение. Можно доказать, что в общем случае последнее равенство справедливо при |x|<1. Отметим, что при α натуральном последнее равенство справедливо , т.к. в левой и правой частях равенства будут многочлены.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 2095; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |