КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Колебательное движение
Лекция 9
Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 3.5). В состоянии равновесия, сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины , Fупр =mg, где Fупр = kΔl (закон Гука), Δl=l-l0 , l0 – длина пружины без груза.
Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорением а согласно уравнениям:
(3.12)
Введём обозначение , тогда
. (3.13)
Равенство (3.13) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из уравнения (3.13) и равна (3.14) где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия), - циклическая частота, - фаза колебания,- начальная фаза колебания. Период колебания
(3.15)
частота . (3.16)
3.3.1 Затухающие колебания
Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление. При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления , (3.17) где r– коэффициент сопротивления.
С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид . (3.18)
Разделим обе части уравнения (3.18) на m, перенесем все слагаемые в левую часть и введем обозначения ,, тогда
(3.19)
где - коэффициент затухания. В результате решения дифференциального уравнения (3.19) координата смещения груза
(3.20)
где и - амплитуда колебаний и фаза в момент времени t=0, - циклическая частота затухающих колебаний (рис 3.7). Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону
. (3.21)
Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений: , (3.22)
(3.23)
где ω0 частота свободных колебаний тела.
Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний. Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении. Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний. Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и
(3.24)
называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом
(3.25)
Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени. Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ.
, (3.26)
Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени. За время τ система совершит колебаний.
Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.
(3.27)
3.3.2. Вынужденные колебания и резонанс
Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания. При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
, (3.28) где - коэффициент затухания; - максимальное значение силы; - частота изменения силы.
- циклическая частота свободных колебаний; - сила, действующая на единицу массы груза. В результате решения дифференциального уравнения (3.28) координаты смещения груза х = х1 + х2,
где - соответствует затухающему колебанию, - вынужденному.
Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени. Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания (3.29) где , (3.30)
(3.31)
Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω 0.
Для Ω << ω 0, , (3.32) Ω >> ω0, , (3.33) . Для частоты внешней силы
наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний (3.35) Для самостоятельного изучения
3.3.3 Колебания математического маятника Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, например, небольшой шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис. 3.8). Отклонение маятника от положения равновесия определяется углом . При отклонении маятника от положения равновесия действует момент силы , модуль которого равен , где - масса шарика; - длина нити. Направление момента силы таково, что он стремится вернуть маятник в положение равновесия, т.е. по своему действию момент аналогичен упругой силе. Поэтому по аналогии с колебанием груза на пружине противоположный знак следует приписать угловому смещению . Тогда вращательный момент . Вращательный момент, действующий на маятник, сообщит маятнику угловое ускорение . Уравнение движения маятника (3.36)
где J=ml2, Для малых колебаний = (3.37)
Обозначим и запишем уравнение колебания математического маятника (3.38) Результат решения уравнения (3.38) аналогичен уравнению (3.14) для колебания груза на пружине: (3.39) Период и частота колебаний математического маятника , (3.40) (3.41) Физический маятник Физический маятник состоит из твёрдого тела, совершающего малые колебания. При отклонении тела от положения равновесия возникает момент силы тяжести М=mglsinα, где l – расстояние между точкой подвеса О и центром инерции С (рис.3.9). Уравнения колебаний физического маятника: (3.42) где , J- момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса О.
Период колебаний физического маятника: (3.43) Из сравнения формул (3.43) и (3.40) следует, что математический маятник с приведённой длиной и с подвесом в точке О будет иметь такой же период колебаний, как и физический. Задания для самоконтроля знаний. 1. Определить период и частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости пружины 100 и массой груза 10 кг. 2. Определить максимальную скорость колебаний пружинного маятника с параметрами k=200, m=5 кг, если максимальное смещение от положения равновесия груза равно 5 см. 3. Определить период затухающих колебаний, если частота свободных колебаний 1 Гц, а коэффициент затухания 2 с-1. 4. Определить время релаксации затухающих колебаний с коэффициентом затухания 2 с-1. 5. Определить резонансную частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости 100 , массой груза 10 кг и коэффициентом затухания 2 с-1.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 525; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |