КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ряд Тейлора
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ. План лекции ЛЕКЦИЯ 7 1. Ряд Тейлора. 2. Ряд Лорана. 3. Типы особых точек. 4. Особые точки и вид ряда Лорана. 5. Понятие вычета.
Теорема 10. Если функция f(z) аналитична в круге , то она в этом круге может быть представлена рядом Тейлора: , где - коэффициент ряда разложения. , где n=0, 1, 2… В любой замкнутой области, принадлежащей этому открытому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно. Точка а – центр разложения, R – радиус сходимости. 2. Ряд Лорана. Будем предполагать, что функция f(z) аналитична в кольце К: . Рис. 1 Теорема 11. Если функция f(z) аналитична в кольце К, то она в этом кольце может быть представлена рядом Лорана: , где - любой замкнутый контур, лежащий целиком в кольце К и охватывающий точку а, которая является центром разложения. Ряд Лорана можно получить, расширяя ряд Тейлора в область отрицательных значений n, n <0.
Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени называются главной частью ряда Лорана. Сумма членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана. Ряд Лорана (а) сходится в области, в которой сходятся ряды (б) и (в). Пусть ряд Тейлора сходится в круге , ряд (б) сходится вне круга , тогда если r>R, то ряд Лорана расходится, если r<R, то сходится в кольце К. Пример. Рассмотрим разложение функции f(z). . Выберем в качестве центра разложения точку z=0. 1) Функция f(z) аналитична в круге . В соответствии с теоремой 10 она может быть представлена рядом Тейлора: . Рис. 2 2) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана:
, 3) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана: , ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ВИД РЯДА ЛОРАНА. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется окрестность точки а, в которой функция f(z) аналитична и аналитичность нарушается при переходе к самой точке. Более точное определение: Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется кольцо К, вида , в котором функция f(z) аналитична и аналитичность не имеет места в самой точке. Различают три типа изолированных особых точек: 1. изолированная особая точка а называется устранимой, если существует . Пример. z=0 – устранимая изолированная особая точка функции , т. к. Название устранимая особая точка оправдывается тем, что особенность функции в этой точке можно устранить, если положить 2. изолированная особая точка а называется полюсом, если функция f(z) неограниченно возрастает при . Пример. z=3 – полюс точка функции . Каждый полюс а функции f(z) является нулем а функции . Порядком полюса а функции f(z) называют порядок нуля а функции Говорят, что точка а является нулем функции порядка m, если . Пример. z=3 – полюс третьего порядка функции . 3. изолированная особая точка а называется существенно особой, если не существует . Пример. z=0 - существенно особая точка функции
рис. 1 По определению изолированной особой точки существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана:
Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени называются главной частью ряда Лорана. Сумма членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана. Могут иметь место три случая: 1) ряд Лорана содержит только правильную часть Тогда , т. е. точка а –устранимая особая точка. 2) ряд Лорана содержит конечную главную часть
Представим:
Можно видеть, что Точка а – является полюсом функции f(z). В ТФКП, доказывается, что порядок полюса совпадает с числом членов в главной части ряда Лорана. 3) ряд Лорана содержит бесконечную главную часть В ТФКП, доказывается, что точка а– является существенно особой точкой функции f(z). Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана по степеням . В этом разложении особую роль играет коэффициент ,(коэффициент при сомножителе ), который называется вычетом функции f(z) в точке z=a и обозначается Res ЛЕКЦИЯ 8 План лекции 1. Теорема о вычетах. 2. Основные формулы вычета в полюсе. 3. Примеры на применение теоремы о вычетах. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана: (1) Обозначим замкнутый контур целиком лежащий в кольце К и охватывает точку а. Вычислим интеграл:
Рассмотрим интеграл . Выделим три случая: 1) , (по теореме 7) 2) , Res . 3) , (по формуле Коши для высших производных) Пояснение: формула Коши для высших производных Заменим в формуле Коши на z, z на а Получили равенство: Res (2) Теорема 12.(теорема о вычетах) Если функция f(z) аналитична в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек и непрерывна на границе c одласти D, то Res Доказательство: Выделим особые точки из области D с помощью замкнутых контуров . Контура выбираются таким образом, чтобы они не пересекались друг с другом и контуром с. Рис. 1 Получим (n+1) связанную область, ограниченную с и (к=1, 2,…n), в которых функция f(z) аналитична. По теореме 9: (3). В соответствии с равенством (2): Res (4) Подставляя (4) в (3), получим: Res. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧЕТОВ В ПОЛЮСЕ. 1. Найдем вычет Res, полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. Обозначим через с замкнутый контур, целиком лежащий в области аналитичности функции f(z) и охватывающий точку а. По теореме о вычетах: Res По формуле Коши: Из сравнения полученных результатов следует Res 2. Найдем Res , полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. По теореме о вычетах: Res
С другой стороны по формуле Коши для производных: Из сравнения полученных формул следует Res 3. Общая формула вычета в полюсе первого порядка. Пусть а – полюс первого порядка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана:
Перейдем к пределу при в последнем выражении: Res Res 4. Найдем Res, полагая, что При выписанных условиях точка а является полюсом первого порядка функции . Воспользуемся полученным в предыдущем пункте выражением. Res . Получим формулу Resпри 5. Общая формула вычета в полюсе порядка m. Пусть а – полюс порядка m функции f(z). Выпишем соответствующий этому полюсу ряд Лорана:
Продифференцируем последнее выражение (m-1) раз
Перейдем к пределу Res Получим следующие формулы вычетов в полюсе Res Res Res, Res(Общая формула вычета в полюсе первого порядка) Res(Общая формула вычета в полюсе порядка m) Пример 1. , с: рис. 1
(3 формула вычета) Пример 2. , с: рис. 2
- являются полюсами первого порядка. Правило определения порядка полюса: нужно из порядка нуля знаменателя вычесть порядок нуля числителя.
Аналогичным образом легко показать, что , поэтому
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 508; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |