Первый и второй законы Кирхгофа

В теории цепей различают два типа задач: задачи анализа и задачи синтеза. Задача анализа сводится к отысканию токов и напряжений, возникающих в цепи заданной конфигурации под действием заданных источников. При этом схема цепи и параметры ее элементов подразумеваются известными. Предполагается также, что ЭДС и токи источников энергии являются заданными функциями времени. Искомыми функциями являются токи и напряжения в ветвях цепи (может быть, только в одной или в нескольких). В отдельных задачах требуется отыскивать параметры каких-либо элементов, составляющих цепь, или параметры источников энергии по заданным токам или напряжениям в отдельных фрагментах цепи.

При правильной (корректной) постановке такие задачи всегда имеют решение, причем единственное. Далее мы будем рассматривать только задачи анализа.

Решение задачи синтеза может быть представлено как последовательный перебор задач анализа и выбор наиболее подходящего результата. Естественно, результат будет достигнут быстрее, если топология схемы цепи, тип и параметры составляющих ее элементов заведомо способствуют преобразованию сигнала требуемым образом.

Токи и напряжения в электрической цепи подчиняются определенным закономерностям структурного и компонентного типа. Компонентные законы описывают связь физических величин (токов, напряжений, их производных) для отдельных элементов, составляющих цепь. Примером является закон Ома, связывающий ток и напряжение на сопротивлении. Структурные законы позволяют составить уравнения для токов и напряжений в цепи определенной структуры. Далее речь пойдет об основных структурных законах электрических цепей. Таковыми являются первый и второй законы Кирхгофа.

Законы Кирхгофа являются основными законами электрических цепей. Оба закона были установлены на основании многочисленных опытов.

Первый закон Кирхгофа (закон Кирхгофа для узлов) гласит:

алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю, то есть

.

При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа необходимо задаться условно-положительными направлениями токов во всех ветвях, обозначив их на схеме стрелками. В приведенном выражении со знаком плюс записываются токи с условными положительными направлениями от узла, а со знаком минус – с условными положительными направлениями к узлу (или наоборот).

Первый закон Кирхгофа может быть сформулирован по другому: сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу. Например, для узла цепи на рисунке 2 можно записать

,

или

.

Этот закон является следствием того, что в узлах цепи постоянного тока заряды не могут накапливаться. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Рисунок 2

Если в результате расчета электрической цепи будет получено для некоторого тока положительное число, то это значит, что ток имеет действительное направление согласно стрелке. Если же будет получено отрицательное число, то этот ток в действительности направлен против стрелки.

Второй закон Кирхгофа (закон Кирхгофа для контуров) применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом:

алгебраическая сумма падений напряжения во всех ветвях любого замкнутого контура электрической цепи равна сумме ЭДС источников энергии, действующих в этом контуре

,

где п – число участков контура;

т – число ЭДС, действующих в контуре.

Для составления уравнений согласно второму закону Кирхгофа должны быть заданы условно-положительные направления токов и ЭДС источников энергии во всех ветвях. Положительные направления падений напряжений в ветвях U_i считают совпадающими с положительными направлениями токов I_i. Выбрав направление обхода контура, при составлении уравнения перед буквенными обозначениями величин U_i и E_k ставят знак «плюс», если положительное направление этих величин совпадает с направлением обхода контура, и знак «минус» - в противоположном случае.

Для контуров, содержащих источники тока (например, контура 1, показанного штриховой линией на рисунке 3), допустима запись второго закона Кирхгофа только в виде

.

Рисунок 3

Дата добавления: 2014-01-07