Метод неопределенных коэффициентов решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами

Если правая часть неоднородного уравнения (5.48) имеет специальный вид, то для нахождения можно применять метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим несколько случаев. Путь - корни характеристического уравнения.

1. , где - многочлен степени , .

a) если , то частное решение ищется в виде , где - многочлен -й степени с неизвестными коэффициентами, которые следует определить;

b) если - совпадает с одним из корней характеристического уравнения , то решение ищется в виде ;

c) если - двукратный корень характеристического уравнения , то решение ищется в виде .

2. .

a) если , то решение ищется в виде

, (5.52)

где ;

b) если , то

. (5.53)

Замечание. Формулы (5.52), (5.53) верны и для случая, когда

, .

Примеры.

1. Найти частное решение уравнения .

Решение. , , , , . Характеристическое уравнение имеет корни: , . Следовательно, частное решение следует искать в виде . Подставляя данное выражение в уравнение, и, сравнивая коэффициенты перед , , получаем

, .

.

2. .

Решение. , , , . Характеристическое уравнение имеет корни . Так как , то частное решение ищется в виде .

3. .

Решение. , , , . Характеристическое уравнение имеет корни , . Так как , то частное решение ищется в виде .

Теорема. Частное решение уравнения

(5.54)

можно представить в виде суммы , где - частные решения уравнений

и (5.55)

соответственно.

Доказательство. Так как - частные решения уравнений (5.55), то

, . (5.56)

Подставим в левую часть уравнения (5.54):

n

Пример. Решить уравнение .

Решение. , , . Следовательно, . Частное решение будем искать в виде , где - частные решения уравнений

и .

Частные решения этих уравнений ищем в виде: , . Следовательно, . Подставляя в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим: . Таким образом, .

Это же уравнение можно было решить методом Лагранжа. Решение ищется в виде . Функции находятся из системы

.

Дата добавления: 2014-01-15