Чисельне інтегрування функції однієї змінної

Потрібно знайти

с тим або іншим ступенем точності. Відомі три класичних способи зробити це.

Спосіб № 1: метод прямокутників. Відрізок розбивається на рівних частин: довжиною ,

де .

Потім на кожній ділянці функція заміняється на константу , після чого шуканий інтеграл заміняється на інтеграл від нової східчастої функції, тобто на число

.

Можна довести, що справедливо наступну оцінку:

,

де - максимум модуля першої похідної функції на відрізку .

Спосіб № 2: метод трапецій.

У цьому методі шуканий інтеграл після розбивки відрізка на рівні частини заміняється на наступну суму (підсумуються площі трапецій, а не прямокутників, як у попередньому випадку):

,

де Можна довести, що якщо - вихідний обговорюваний інтеграл, то

,

де на відрізку .

Спосіб № 3: метод парабол. У цій ситуації відрізок розбивається на рівних частин: , де . На ділянках , функцію заміняють на параболу, що проходить через крапки й інтегралом від цієї параболи на ділянці заміняють інтеграл від функції на цій же ділянці, після чого всі ці інтеграли підсумують і результати приймають за інтеграл від по всьому відрізку . Отримана наближена формула називається формулою парабол або формулою Симпсона. От її остаточний вид:

.

Якщо ліву частину цього наближеної рівності позначити через , а праву - через , то виявиться виконаної наступна формула для оцінки погрішності:

,

де - максимум на інтервалі четвертої похідної функції .

Дата добавления: 2014-01-15