КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Центральные предельные теоремы
Пусть дана последовательность случайных величин , …. Пусть - частичная сумма последовательности. В классической постановке центральные предельные теоремы описывают поведение частичных сумм , когда n достаточно большое. В большинстве случаев, будем говорить, что к последовательности случайных величин применима центральная предельная теорема [5], если для любых действительных чисел a < b. (116) где Практически, формула (116) дает оценку вероятности того, что сумма нескольких случайных величин примет значение из заданного интервала. В современных центральных предельных теоремах в качестве предельных распределений рассматриваются распределения, отличные от нормального, обычно это локальные предельные теоремы (распределение Пуассона, Коши распределения, распределение Стьюдента, c2 – распределение и др). Теорема (Линдеберга – Леви). Пусть ,…- последовательность независимых случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве. Пусть существуют тогда для любых a< b имеет место Теорема (Ляпунова). Пусть - последовательность независимых случайных величин, у которых существуют конечное математическое ожидание - , дисперсия - и третий центральный момент Если , (117) то закон распределения нормированной суммы сходится по вероятности к нормальному распределению, то есть . Доказательство теорем можно найти в [2,5]. Замечание. Условие (117) означает, что влияние любой из случайных величин xк последовательности на их сумму несущественно, иначе сходимость определялась бы распределением той случайной величины, у которой дисперсия намного больше, чем у других случайных величин. Следствие. Если дана последовательность ,… одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией, то имеет место сходимость равномерно по х
. Пример 1. В n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в каждом из испытаний, число успехов можно представить в виде суммы , где xi равно единице или нулю, в зависимости от того был ли успех в испытании i или нет (см. теорему Бернулли). Так как испытания независимые, то к сумме применимо следствие из центральной предельной теоремы. Поэтому распределение для x приблизительно нормально, то есть В сущности, это есть теорема Муавра-Лапласа. Пример 2. На странице 88 рассмотрен пример со случайными величинами , одинаково и равномерно распределенными на [0,1). При рассмотрении сумм , было отмечено, что их плотности тем больше напоминают нормальное, чем больше слагаемых в сумме. Теперь в силу теоремы Линдеберга-Леви мы можем утверждать, что , где - плотность случайной величины . Задача. Доказать, что Решение. Воспользуемся следствием к теореме Ляпунова. Предположим, что сл. в. ,… распределены в соответствии с законом Пуассона, с параметром l =1. В силу следствия, имеем или так как . Покажем, что . Предварительно докажем лемму. Лемма. Пусть даны случайные величины , распределенные по закону Пуассона с параметрами , тогда . Доказательство. Пусть , , тогда к Î N. Отсюда .▼ Далее, по индукции, легко показать, что, если распределены по закону Пуассона, то .▼ Вернемся к задаче. Рассмотрим событие . Его можно представить в виде объединения несовместных событий: Следовательно, для r = n Замечание. Лемма представляет собой пример вычисления свертки дискретных неотрицательных целочисленных случайных величин, распределенных по закону Пуассона. Практически, центральными предельными теоремами, можно пользоваться и тогда, когда имеется сумма небольшого числа случайных величин (n >10).
В частности, широко применяется приближенная замена одних плотностей на другие, более удобные. Не следует думать, что все центральные предельные теоремы используют нормальное распределение как предельное. Например, в случайных процессах в качестве предельных рассматриваются c2-распределение, распределение Пуассона, Коши распределение, гамма распределение и др. Эти распределения относятся к классу безгранично делимых распределений (то есть таких, которые представимы как n –кратная свертка (n Î N), одинаковых распределений вероятностей). Доказано, что они и только они могут быть предельными для сумм независимых случайных величин [2]. Рассматриваются также предельные теоремы перехода от дискретных случайных процессов к непрерывным.
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 675; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |