Работа и мощность

Для количественной характеристики процесса взаимодействия между телами вводят понятие работы, совершаемой силой.

1. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , составляющая угол с направлением перемещения (рис. 3.1.1), то работа этой силы равна:

, (3.1.1)

где путь пройденный точкой приложения силы (путь и перемещение совпадают). Учитывая, что , где проекция силы на направление перемещения, то .

2. Если тело движется произвольным образом, то сила может изменяться по модулю и направлению. В этом случае пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов так, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента – постоянной (рис. 3.1.2).

Элементарной работой силы на перемещении называется скалярная величина

,

где , проекция вектора на вектор .

Работа силы на всем пути равна сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути:

. (3.1.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость от вдоль траектории. Если эта зависимость представлена графически, то работа определяется заштрихованной площадью (рис. 3.1.3). Отметим, что при работа силы положительна , при работа силы отрицательна . В случае, если , сила работу не совершает .

Единица работы – джоуль (Дж).

Пример 3.1.1. Вычислить работу, совершаемую на пути равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила , а в конце пути .

Решение:

Т.к. сила нарастает равномерно, то уравнение зависимости силы от пройденного пути имеет вид: . Найдем коэффициент .

Работа вычисляется по формуле 3.1.2: (сила направлена в сторону перемещения тела и ).

Получаем .

Ответ: .

Чтобы характеризовать скорость выполнения работы, вводят понятие мощности.

Средняя мощность есть физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени, за который она совершена:

. (3.1.3)

Мгновенная мощность . Поскольку , то

. (3.1.4)

Таким образом, мощность, развиваемая силой в данный момент времени, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Единица мощности – ватт (Вт).

Пример 3.1.2. Определить: 1) работу подъема груза по наклонной плоскости; 2) среднюю и 3) максимальную мгновенную мощности подъемного устройства, если масса груза , длина наклонной плоскости , угол ее наклона к горизонту , коэффициент трения и время подъема .

Решение:

На груз, движущийся вверх по наклонной плоскости, действуют: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры , сила , втягивающая груз на вершину наклонной плоскости, и сила трения (рис.3.1.4).

1. Предположим, что груз движется равномерно . Второй закон Ньютона для движения груза в этом случае будет иметь вид: . Спроецируем это векторное уравнение на координатные оси:

(на )

(на ).

Решив полученную систему уравнений с учетом , получим .

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении груза с учетом (направление вектора скорости совпадает с направлением силы ) по 3.1.1 равна .

Средняя мощность подъемного устройства по 3.1.3 .

Мгновенная мощность подъемного устройства по 3.1.4 равна . Учитывая, что , . При равномерном движении . В любой момент времени мгновенные мощности одинаковы и равны , т.е. средняя и мгновенная мощности равны.

2. Предположим, что груз движется равноускоренно из состояния покоя. Второй закон Ньютона для движения груза в этом случае будет иметь вид: . Спроецируем это векторное уравнение на координатные оси:

(на )

(на ).

Учитывая, что , , и, решив полученную систему уравнений, получим .

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении груза (направление вектора скорости совпадает с направлением силы и ) равна .

Средняя мощность подъемного устройства по 3.1.3 .

Мгновенная мощность с учетом равна . При равноускоренном движении и . Решая совместно эти уравнения, находим максимальную скорость груза (на вершине наклонной плоскости) .

Следовательно, максимальная мгновенная мощность подъемного устройства .

Ответ: при , ,

при , , .

Дата добавления: 2014-01-20