Етод прЯмоугольников

Ќаиболее простым методом численного интегрированиЯ ЯвлЯетсЯ метод, основанный на применении формулы прЯмоугольников. ‚ этом случае подынтегральную функцию/кривую заменЯют прЯмой, а формула длЯ вычислениЯ площади прЯмоугольника известна. „лЯ повышениЯ точности вычислений участок интегрированиЯ [ a, b ] разбиваетсЯ на n равных частей. „алее берутсЯ значениЯ подынтегральной функции в левых (или правых) концах полученных участков. Џри этом подынтегральнаЯ функциЯ f (x)на отрезке [ a, b ] заменЯетсЯ ступенчатой кривой (см. рис. 5.2), и приближенное значение интеграла определЯетсЯ суммой площадей прЯмоугольников

где

y

ЂналогичнаЯ формула прЯмоугольников получитсЯ и в том случае, если брать длЯ интегральной суммы значениЯ функции f (x) не в левых, а в правых концах участков разбиениЯ:

‚ результате расчетов по формулам ЗслеваИ и ЗсправаИ получаетсЯ приближенное значение интервала (с недостатком или с избытком), которое может отличатьсЯ от действительного на некоторую величину, называемую ошибкой ограничениЯ. ќта ошибка определЯетсЯ величиной остаточного члена рЯда ’ейлора:

‚ качестве примера на рис. 5.3 приведена схема алгоритма, реализующего вычислениЯ по формуле прЯмоугольников ЗслеваИ. “величение числа участков разбиениЯ n приводит к повышению точности вычислениЯ интеграла. ‘ледует обратить внимание также на формирование условиЯ выхода из цикла на рис. 5.3, добавление половины шага h в условие необходимо длЯ избежаниЯ возможного сравнениЯ на равенство двух вещественных значений x и bРh.

Ћпределение интеграла по формуле прЯмоугольников

‘ целью повышениЯ точности вычислений по методу прЯмоугольников значение подынтегральной функции целесообразно взЯть не на концах участков, а в их середине. ‚ результате получим формулу средних:

,

где i =1,2,Й, n. Ћстаточный член формулы средних где M = max | f "(v) | v Î[ a,b ].

„анный метод вычислениЯ определенного интеграла обеспечивает более высокую точность при равном n по сравнению с формулами прЯмоугольников. ”ормулу средних рекомендуетсЯ использовать длЯ достаточно гладких функций f (x), не содержащих высокочастотных колебаний на отдельных интервалах интегрированиЯ. Ќа рис. 5.4 показана схема алгоритма вычислениЯ интеграла по формуле средних.

Дата добавления: 2014-01-20