Проверка статистических гипотез

Интервальные оценки генеральных параметров.

Точечные оценки, рассмотренные в предыдущем параграфе, хотя и являются численными, не дают всей желательной информации об оцениваемых генеральных характеристиках.

Требуется указать качество этого приближения.

Пусть θ — неизвестная числовая характеристика или параметр генерального распределения.

Определение. Если выполняется соотношение (1),

то интервал (θ₁,θ₂) называется д оверительным интервалом, который накрывает неизвестную генеральную характеристику θ с доверительной вероятностью γ.

Здесь θ₁ =θ₁(х₁,..., х_n), θ₂ =θ₂(х₁,..., х_n) — известные функции выборочных элементов х₁,..., х_n, т. е. статистики. Они вычисляются по выборке.

Число γ называется также надежностью, с которой доверительный интервал накрывает θ. Число λ=1–γ — называется уровнем значимости.

Статистики θ₁ и θ₂ в соотношении (1) являются точечными оценками θ. Одна дает левую, а другая — правую границы, между которыми содержится θ с надежностью γ.

Половину длины доверительного интервала (2)

назовем точностью интервального оценивания.

Пусть теперь известна одна точечная оценка генеральнойчисловой характеристикиили параметра распределения θ.

Определение. Если выполняется соотношение: (3)

то число ε называется точностью, а число γ — надежностью оценки генеральной числовой характеристики θ.

Здесь = (х₁,..., х_n) — статистика, т. е. функция выборочных элементов.

Если известны ε и γ, то легко построить доверительный интервал для θ с помощью ее точечной оценки.

Действительно,.

Тогда θ₁ = –ε; θ₂ = +ε, и мы от соотношения (3) приходим к соотношению (1).

Доверительный интервал зависит от ε, а ε зависит от n и γ. Чем больше объём выборки, тем ε меньше. Чем γ ближе к 1, тем ε больше.

Вычисление доверительного интервала для генерального параметра θ зависит от вида распределения генеральной совокупности Х. Рассмотрим случай, когда Х~ N(a,σ).

{a= M(X), σ² = D(X)}

А) Оценка параметра а при известном генеральном σ: (4).

Доверительный интервал для параметра а с надёжностью γ.

n – объём выборки, - выборочное среднее, σ – известная генеральное ср. квадр. отклонение,

t находим из таблиц функции Лапласа по формуле:.

В) Оценка для а при неизвестном σ: (5),

n – объём выборки, - выборочное среднее, s –исправленное ср. кв. отклонение.

t_γ – симметрическая критическая точка (кр. точка для двусторонней кр. области) распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем значимости α =1-γ [t_γ =t(n-1,1-γ)].

C) Оценка σ: (6), где

- критические точки распределения с n-1 степенями свободы и уровнями значимости соответственно:.

Во многих случаях результаты выборки используются для проверки предположений (гипотез) относительно тех или иных свойств распределения генеральной совокупности. В частности, такого рода задачи возникают при сравнении различных технологических процессов или методов обработки по определенным измеряемым признакам, например по точности, производительности и т. д.

Пусть Х — изучаемая (наблюдаемая) дискретная или непрерывная случайная величина.

Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины Х.

Статистическая гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины Х; в противном случае гипотеза Н называется сложной.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н₀. Наряду с гипотезой Н₀ рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез Н₁.

Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра θ некоторому заданному значению θ₀, т. е. Н₀:θ = θ₀, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез:, где θ₁—заданное значение, θ₁ ≠ θ₀. Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Но, называется статистическим критерием.

Проверку статистических гипотез выполняют на основании результатов выборки. Следовательно, статистический критерий устанавливает, при каких результатах случайной выборки проверяемая гипотеза принимается, а при каких — отвергается. Значения параметра, при которых гипотеза отвергается, образуют критическую область проверяемой гипотезы. Понятие критической области нельзя отождествлять с понятием критерия.

Задача проверкигипотезы сводится к нахождению критической области для данного уровня значимости. Если значения параметра попадают в критическую область, то это указывает на несоответствие гипотезы наблюденным данным, и гипотеза должна быть отвергнута.

При проверке гипотезы возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что нулевая гипотеза Н₀ отвергается, в то время как она в действительности верна. Вероятность ошибок 1-го рода называется уровнем значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что нулевая гипотеза Н₀ принимается, а на самом деле она неверна. Вероятность их обозначается через β.

Уровнем значимости α называется столь малая вероятность, что событие с такой вероятностью является практически невозможным.

Для определения лучшего критерия проверки гипотезы Н₀ необходимо среди всех критериев, которые имеют одну и ту же вероятность ошибки первого рода, выбрать тот, для которого вероятность ошибки второго рода наименьшая. Допускаемую ошибку первого рода можно задать заранее.

Часто распределение случайной величины Х известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы называют параметрическими.

Схема проверки параметрической гипотезы:

1.Исходя из реальной задачи, формулируется нулевая гипотеза Н₀ и альтернативная к ней Н₁.

2.Выбирается определённый уровень значимости проверки α (α = 0,01, α = 0,05).

3. Выбирается так называемый критерий К, по которому осуществляется проверка, т.е. некоторая известная (как правило, табулированная) СВ: N(0;1), T_K,,…

4.По заданному уровню значимости α и объёму выборки n находим критическую область

критерия К, т.е. множество значений К, при которых гипотеза Н₀ отвергается. Выделяют:

– двусторонние критические области:

– левосторонние критические области:

– правосторонние критические области:

5.По данным выборки вычисляется наблюдаемое значение К_набл. Выбранного критерия.

6. Если К_набл критической области, то гипотеза Н₀ отвергается.

Если К_набл критической области, то гипотеза Н₀ может быть принята с данным уровнем

значимости α.

Пусть генеральная совокупность Х распределена нормальным образом N(a;σ).

1) Проверка гипотезы Н₀: а = а₀ при известном σ.

а) альтернативная гипотеза Н₁: а ≠ а₀

В этом и последующих случаях б) и в) проверка осуществляется на основании критерия:, имеющего распределение N(0;1).

– по заданному уровню значимости α вычисляем граничную точку критической области:

t, где – функция Лапласа.

– строим критическую область,

– по данным выборки х₁,…, х_n вычисляем

– устанавливаем, принадлежит ли крит. области или нет.

Если, то гипотеза Н₀ отвергается.

Если, то нет оснований отвергать эту гипотезу.

б) Н₁: а > а₀

Критерий тот же:.

Находим t из условия:;

– вид,

– находится так же, как и в случае а);

Если (< t), то гипотеза Н₀ принимается.

Если (> t), то гипотеза Н₀ отвергаем.

в) Н₁: а < а₀.

Критерий тот же:.

Находим t из условия:;

– вид,

– находится так же, как и в случае а).

Выводы аналогичные.

2) Проверка гипотезы Н₀: а = а₀ при неизвестном σ.

Здесь в качестве критерия выступает СВ

, имеющая распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

а) Н₁: а ≠ а₀

Находим граничную точку t для критической области из условия: или

- критическая точка распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы

для двусторонней или соответственно односторонней критической области.

— Вид кр. области:

— Находим (по выборке).

Если, то гипотеза Н₀ отвергается.

Если, то Н₀ принимается.

б) Н₁: а > а₀

Находим.

— Находим (по выборке).

— Вид кр. области:

Выводы аналогичные.

в) Н₁: а < а₀.

Находим.

Находим (по выборке).

— Вид кр. области:

Выводы аналогичные.

3) Проверка гипотезы Н₀: σ = σ₀ или σ² = σ²₀

В качестве критерия выступает СВ - «хи-квадрат» распределение с n-1 степенями свободы.

а) Н₁: σ ≠ σ₀

Находим граничные точки t_л и t_пр критической области:

,.

— Вид кр. области:

— Находим (по выборке).

Если, то гипотеза Н₀ отвергается.

Если, то Н₀ принимается.

б) Н₁: σ > σ₀

находим t_пр из условия:

— Вид кр. области:

— Находим (по выборке).

Выводы аналогичные.

в) Н₁: σ < σ₀

находим t_пр из условия:

— Вид кр. области:

— Находим (по выборке).

Выводы аналогичные.

Дата добавления: 2014-01-20