Решение. Найти изображение оригинала , используя таблицу и свойство линейности

Пример

Пример

Пример

Найти изображение оригинала , используя таблицу и свойство линейности.

Решение: .

Вопрос 3. Теоремы подобия, смещения, запаздывания.

Теорема подобия. Если – оригинал и – его изображение по Лапласу , , тогда для любого постоянного

, .

Доказательство.

.

Таким образом, умножение аргумента оригинала на положительное число a приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Пользуясь этой теоремой из формулы можно получить

.

Аналогично можно получить .

Пусть задана функция при и при , .

Рассмотрим функцию , где t – положительное число.

0 t

0 t t

График функции можно получить из графика функции путем сдвига последнего на величину t вдоль оси t.

Таким образом, если определяет течение во времени некоторого процесса, то функция определяет тот же процесс, но начавшийся с опозданием t.

С помощью единичной функции Хевисайда запаздывающую функцию можно записать так

,

ибо при (в этом случае аргумент отрицателен) и при .

Теорема запаздывания. Если , то для любого положительного t

.

То есть, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину t приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Доказательство.

Так как при , то

Положим . При получаем, при имеем . Тогда

.

Найти изображение оригинала .

Здесь функция – функция , но «включенная» с запаздыванием . Так как , то по теореме запаздывания получим

.

Замечание. Если бы мы рассматривали функцию , то эта функция означает оригинал без запаздывания. Изображение этой функции .

На практике часто приходится иметь дело с затухающими функциями, затухание которых происходит по экспоненте (показательному закону). Спрашивается, можно ли найти изображение функции с таким затуханием, если известно изображение функции без затухания? На этот вопрос отвечает теорема.

Теорема смещения Если , то для любого комплексного числа

.

Доказательство.

Эта теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию .

Дата добавления: 2014-01-20