Доказательство. Производная скалярного поля в точке по направлению

Свойства градиента

Доказательство

Теорема

Производная скалярного поля в точке по направлению равна проекции градиента поля в точке на вектор , то есть

.

Нормируем вектор :

.

Тогда .

1. Градиент показывает направление наибольшего возрастания поля в данной точке.

Так как , где – угол между градиентом и вектором (рис. 2), то самое большое значение производной получим, если , то есть при .

Рис. 2.

2. Модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания поля в данной точке.

Дата добавления: 2014-01-20