Суммы Дарбу

В качестве вспомогательного средства исследования, наряду с интегральными суммами, введём в рассмотрение так называемые суммы Дарбу. Обозначим через и , соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции в промежутке и составим суммы:

Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу.

В частном случае, когда непрерывна, они являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция в каждом промежутке достигает своих границ, и точки можно выбрать так, чтобы было или

Пере6ходя к общему случаю, из самого определения нижней и верхней границ, имеем: . Умножив это неравенство на и просуммировав по , получим:

.

При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными, в то время как сумма ещё остаётся переменной ввиду производности чисел . Но за счёт выбора можно значения сделать сколь угодно близкими как к , так и к , а значит – сумму сделать сколь угодно близкой к s или к S. А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему общему замечанию: при данном разбиении промежутка, суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.

Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:

I.Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма – разве лишь уменьшиться.

Доказательство:

Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления ещё одной точки . Пусть .

Если обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней S она будет отличаться только тем, что в сумме S промежутку отвечало слагаемое , а в новой сумме этому промежутку отвечает сумма двух слагаемых , где и есть точные верхние границы функции в промежутках и . Так как эти промежутки являются частями промежутка , то

так что

Складывая эти неравенства, получаем:

Отсюда и следует, что

Для нижней суммы доказательство аналогично.

Ч.т.д.

II.Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка.

Доказательство:

Разобьём промежуток произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и . Рассмотрим теперь некоторые другие разбиения промежутка . Ему будут отвечать суммы и . Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Третье разбиение получено из первого добавлением новых точек деления; поэтому, на основании свойства 1) сумм Дарбу, имеем (обе нижние суммы!)

Составив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что . Но , так что из только что полученных неравенств вытекает:

.

Ч.т.д.

Замечание. Из доказанного, следует, что всё множество нижних сумм ограничено сверху, например, любой верхней суммой . В таком случае, это множество имеет конечную точную верхнюю границу: , и, кроме того, , какова бы ни была верхняя сумма . При этом множество верхних сумм оказывается ограниченным снизу числом Следовательно, оно имеет точную нижнюю границу: , получим, очевидно, .

Сопоставляя всё сказанное, имеем:

,(4)

Для любых и .

Числа и называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу.

Дата добавления: 2014-01-20