КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла сведено к повторному интегрированию. 1. Область интегрирования ограничена слева и справа вертикальными прямыми и , а снизу и сверху - непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (см. рис.9). Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле . Рис. 9 Рис. 10 2. Область интегрирования ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми и , а слева и справа непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (см.рис.10). В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле . 3. Область интегрирования ограничена замкнутой кривой (см.рис.11). Вычисление двойного интеграла по этой области сводится либо к случаю 1, если границу области разбить на дуги и ; либо к случаю 2 при разбивке границы на дуги , и . Рис. 11 Рис. 12 Пример. Вычислить , если область ограничена окружностью (см. рис.12). В первом способе вычисления разрешаем уравнение окружности относительно , в результате чего находим уравнение дуги и дуги . Тогда двойной интеграл запишем в виде повторного . Вычисляя внутренний интеграл, получим . Интегрируя данную функцию по переменной , найдем значение двойного интеграла . Теперь изменим порядок интегрирования и запишем двойной интеграл в виде следующего повторного . Внутренний интеграл равен нулю, поэтому можно заключить о равенстве нулю двойного интеграла . Сравнение двух способов вычисления показывает преимущество второго, так как здесь интегрирование производится только один раз. 4. Граница области интегрирования состоит из трех и более дуг. Такая область вертикальными и горизонтальными прямыми разбивается на части, подходящие под случаи 1 и 2. Пример такой разбивки показан на рис.13. Двойной интеграл для данной области вычисляется по формуле
. Рис. 13 Рис. 14 Пример. Вычислить по области, изображенной на рис.14. Разбиваем область интегрирования на части и и вычисляем двойные интегралы по каждой из этих областей согласно случаю 1. Находим , , . Примененный метод вычислений для данной области не является рациональным, так как область непосредственно подходит под вид 2. Поэтому интегрирование лучше производить следующим образом . Кроме прямоугольных координат и для вычисления двойного интеграла могут быть использованы полярные координаты и . Прямоугольные и полярные координаты связаны между собой соотношениями: , . Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным осуществляется по формуле Если область интегрирования ограничена лучами , и кривыми , , где и - однозначные функции при и r1, то двойной интеграл вычисляется по формуле . Переход к полярным координатам применяют, если область интегрирования задана в полярных координатах или если это упрощает подынтегральную функцию. Рис. 15 Пример. Вычислить по области, показанной на рис.15. Границы области интегрирования заданы кривыми в полярных координатах, поэтому двойной интеграл также считаем в полярных координатах Пример. Вычислить , если область ограничена окружностью . В этом примере удобно перейти к полярным координатам, так как это упрощает подынтегральную функцию и сверх того делает более простыми пределы интегрирования. После перехода к полярным координатам двойной интеграл запишется в виде . Вычисляя внутренний интеграл, получим . После интегрирования по найдем значение двойного интеграла . В общем случае преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат и к криволинейным и , связанным друг с другом соотношениями , , осуществляется по формуле
, где (якобиан). Записанная формула справедлива, если функции j и имеют непрерывные частные производные и устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей и и, кроме того, если якобиан сохраняет постоянный знак в области . Пример. Вычислить по области, ограниченной эллипсом , двойной интеграл . С целью упрощения подынтегральной функции и области интегрирования перейдем к криволинейным координатам и , связанным с прямоугольными соотношениями: , , , . В новой системе координат область интегрирования преобразуется в прямоугольную область: , . Якобиан преобразования координат равен . Осуществив преобразование координат и интегрируя, придем к следующему результату
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 3267; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |