КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Криволинейные интегралы первого типа
Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую на плоскости (– точки плоскости). Для простоты, считаем, что эта кривая задана параметрическими уравнениями, причем – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда длина кривой выражается формулой . Под разбиением кривой будем понимать множество точек, лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от к. Пусть - длина кривой. Диаметр определим как. Пусть функция определена на кривой. Выберем на каждом участке кривой точку и образуем сумму, называемую интегральной. Определение 3.1.1. Пусть. Если, то величина I называется криволинейным интегралом первого типа по кривой и обозначается так:. Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от к,
В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который меняет знак при изменении пределов интегрирования (). Сформулируем теорему, сводящую новый объект - криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу. Определим вспомогательное понятие непрерывности функции на кривой. Будем говорить, что - непрерывная на кривой функция, если (точки кривой такие, что расстояние между меньше) выполняется неравенство. Теорема 3.1. Пусть - непрерывная на кривой функция и пусть кривая задана параметрическими уравнениями, где - непрерывные на функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда
. ►Схема доказательства. Интегральная сумма
для криволинейного интеграла первого типа отличается от интегральной суммы для интеграла
лишь тем, что величина
несколько отличается от величины . А именно, этот интеграл, по теореме о среднем, равен , где. Нетрудно доказать, что при пределы этих сумм равны (строгое доказательство опущено). Это означает, что утверждение теоремы справедливо.◄ Замечание. Иногда возникает сомнение: мы выразили криволинейный интеграл первого типа, который не меняет свой знак при изменении направления обхода кривой с помощью обычного интеграла, который должен менять знак при изменении пределов интегрирования? Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства. Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 основных:
Эти свойства называются линейностью и аддитивностью интеграла. Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т.е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 502; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |