Теорема 2 (Пуансо)

Подвижная и неподвижная центроиды в любой момент времени касаются друг друга в точке, совпадающей в этот момент времени с мгновенным центром скоростей.

Подвижная центроида при изменении катится по неподвижной центроиде без проскальзывания.

5º. Геометрические способы построения МЦС

5.1. Построение МЦС по скорости одной точки и по угловой скорости .

Пусть известна угловая скорость плоской фигуры и скорость одной из ее точек в некоторый момент времени. Точку обозначим , а ее скорость . Покажем, как построить МЦС в такой ситуации.

По формуле (3.14.16) (принимая за точку ) можем записать

,

где .

Отсюда следует:

1) вектор ортогонален ;

2) — расстояние от точки до МЦС;

3) если , то тройка векторов — правая; если , то эта тройка векторов — левая.

Рис.3.14.4

Из данных свойств получаем следующие правила построения МЦС (см. рис. 3.14.4):

1) через начало вектора (через точку ) проводим прямую, ортогональную скорости ;

2) вычисляем ;

3) если , то поворачиваем вектор скорости вокруг точки на угол против часовой стрелки, и вдоль построенной прямой откладываем от точки отрезок длиной в направлении повернутого вектора .

В результате такого построения получаем точку , совпадающую с концом отложенного отрезка. Эта точка является искомым МЦС.

4) Если , то поворот вектора скорости вокруг точки на угол делаем по часовой стрелке, и строим МЦС по правилу, указанному во второй части пункта 3),
а именно:

вдоль построенной прямой откладываем от точки отрезок длиной в направлении повернутого вектора .

Искомый МЦС, как и в ситуации , будет совпадать с концом отложенного отрезка.

5.2. Построение МЦС по скоростям,
заданным в двух точках

Пусть заданы точка и ее скорость , а также точка и ее скорость . Надо построить (геометрически) точку (МЦС).

В соответствии с формулой (3.14.16)

, (3.14.16)

можем записать

. (3.14.18)

Из этих соотношений вытекает:

1) , (3.14.19)

2) вектор ортогонален вектору ,
вектор ортогонален вектору .

Рассмотрим три ситуации, представленные схематично на рисунках 3.14.5, 3.14.6, 3.14.7.

а) б) в)

Рис.3.14.5. Рис.3.14.6. Рис.3.14.7.

5.2.1. Случай сонаправленных скоростей и

В ситуации, изображенной на рисунке 3.14.5, скорости и коллинеарны и сонаправлены.

Очевидно, в этом случае для существования МЦС необходимо, чтобы .

В противном случае будем иметь , т.е. плоская фигура совершает поступательное движение.

Согласно следствию 2 из формулы Эйлера, в данной ситуации прямая должна быть ортогональна скоростям и . А поскольку МЦС находится на прямой, ортогональной скоростям и , то он будет находиться на прямой .

Рис.3.14.5

Из соотношений (3.14.18)

(3.14.18)

следует, что и сонаправлены, поскольку векторы и сонаправлены.

Следовательно, точка находится на прямой, соединяющей точки и , и не принадлежит отрезку .

Соединим концы векторов и прямой и продолжим ее до пересечения с прямой (см. рис. 3.14.5). Из треугольников и следует, что

.

Данное отношение совпадает с отношением (3.14.19)

, (3.14.19)

Следовательно, точка — это МЦС.

5.2.2. Случай противоположно направленных скоростей и

В ситуации, изображенной на рисунке 3.14.6, скорости и коллинеарны и противоположно направлены.

В таком случае, согласно тому же следствию 2, из формулы Эйлера вытекает, что и .

Из (3.14.18)

(3.14.18)

заключаем:

1) МЦС находится на прямой ;

2) МЦС находится между точками и , поскольку векторы и противоположно направлены.

Рис.3.14.6

Соединим концы скоростей и (точки и ) прямой . Построенная таким образом прямая пересечет прямую в точке . Из подобных треугольников и находим:

.

Это отношение совпадает с отношением (3.14.19)

, (3.14.19)

А потому точка является мгновенным центром скоростей.

5.2.3. Случай неколлинеарных скоростей и

В ситуации, изображенной на рисунке 3.14.7, скорости и не коллинеарны.

Рис.3.14.7

Тогда точка должна находиться на прямых, ортогональных скоростям и .

Если через точку и точку проведем прямые, ортогональные и , то их пересечение даст единственную точку .

Очевидно, построенная таким образом точка совпадает с МЦС.

Данное утверждение следует из того факта, что МЦС должен находиться на указанных перпендикулярах, а также из теоремы существования и единственности МЦС.

Примечание

Следует иметь в виду, что согласно следствию 1 из формулы Эйлера для заданных скоростей и должно выполняться равенство

,

где .

Поэтому прежде, чем делать построение МЦС, в ситуации, изображенной на рисунке 3.14.7, следует сначала проверить выполнение равенства проекций заданных скоростей и на прямую с направляющим вектором .

Если проекции не равны по величине или противоположны по направлению, то задача построения МЦС в данной ситуации не имеет решения, так как исходные данные некорректны.

6º. Мгновенный центр ускорений

Дата добавления: 2014-01-11