Равномерная непрерывность функции на множестве

Def: Величина называется колебанием функции на множестве М.

Def: Функция называется равномерно непрерывной на множестве М, если

.

Теорема Кантора: Функция непрерывная в ограниченной замкнутой области D равномерно непрерывна на D.

Δ. От противного. Возьмем числовую последовательность , такую что:

и ни одно из этих не годится для равномерной непрерывности.

Тогда , такая что , но . (*)

Получаем последовательность . Из этой последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность . Для нее , в силу замкнутости области . Так как , то при .

Значит, в силу непрерывности, , значит , что противоречит (*). ▲

Следствие: Если равномерно непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то , таких, что – замкнуты, и выполнено: .

Δ В качестве достаточно взять это число из равномерной непрерывности.

Тогда . ▲

Дата добавления: 2014-01-11