Область сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля и следствия из нее вытекает, что если степенной ряд имеет отличные от нуля точки сходимости x₀ и точки расходимости x ₁, то всякая точка сходимости лежит к началу координат не дальше, чем точка расходимости. При этом получается, что точки сходимости степенного ряда заполняют некоторый промежуток на числовой оси x с центром в начале координат. Этот промежуток можно характеризовать числом R таким, что в точках x, ряд сходится (причем абсолютно), а в точках x, - ряд расходится. В точках x=-R и x=R ряд может как сходиться, так и расходиться. Существование R можно объяснить так:

в точке x ^*, лежащей между x₀ и x ₁, будет либо сходимость, либо расходимость; так и перебираем точки отрезка [ x₀,x ₁], пока не исчерпаем весь этот отрезок.

Определение. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда , если для всякого ряд сходится, а для всякого ряд расходится. Интервал (- R, R) называют интервалом сходимости, начало координат – центр интервала сходимости.

Разъяснение:

Для ряда центром интервала сходимости будет точка x₀. Число R будет радиусом сходимости, если для

ряд сходится, а для ряд расходится. Интервал сходимости этого ряда: - R+x ₀ < x <R+x₀. На концах интервала сходимости x=-R+x₀ и x= R+x₀ ряд может либо сходиться, либо расходиться.

Для отыскания радиуса сходимости, характеризующего область сходимости степенного ряда, можно поступать с рядом, как с числовым – применять к нему признаки Даламбера, Коши и другие.

Пусть, например, существует предел . Тогда находим ; ; . Если q=0, то вся действительная ось x является областью сходимости. Если q= ¥, то ряд сходится только в точке x=0, а на всей оси x он расходится. Если же не существует (но, допустим, существует самая правая предельная точка (точка сгущения) числовой последовательности , то обозначив эту правую точку через

находим, что заведомо ряд будет сходиться, если , т.е. если

Аналогично поступаем при применении признака Даламбера. Пусть существует . Тогда Сходимость ряда на концах x=-R и x=R исследуется отдельно.

Дата добавления: 2014-01-11