Свойство гидростатического давления. Основной закон гидростатики

В покоящейся жидкости выделим элементарный (очень малый) объем в виде тетраэдра, грани которого обозначим D S_x, D Sy, D Sz, D S_n. Нижний индекс указывает, какой оси координат перпендикулярна грань тетраэдра. Чтобы при выделении объема состояние жидкости в нем не изменилось, действие на него окружающей среды заменим соответствующими силами: поверхностными и массовыми. Поскольку жидкость покоится, на грани тетраэдра действуют со стороны окружающей среды только нормальные напряжения - давления (в соответствии с законом трения Ньютона в покоящейся жидкости касательные напряжения равны нулю), а на массу жидкости в объеме тетраэдра действует сила тяжести с напряжением (рис.3.2).

Рис. 3.2

Таким образом, на грани тетраэдра действуют давления px, py, pz, pn, создающие соответствующие нормальные силы: . Условие равновесия тетраэдра – результирующая всех внешних сил, действующих на выделенный объем, равна

нулю – в проекции на ось x принимает следующий вид:

.

Поскольку

то уравнение равновесия принимает вид:

.

Сокращая на Dz и стягивая объем в точку (), в пределе получим: . Записывая условия равновесия в проекциях на оси y и z, получим, что и . Такое обстоятельство, что в любой точке покоящейся жидкости означает, что в этой точке давление не зависят от направления, от ориентации элементарной площадки. Этот закон изотропии давления в точках сплошной среды, находящейся в равновесии, был открыт в середине XVII в. Б. Паскалем.

Выделим теперь в жидкости, покоящейся в поле силы тяжести элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz так, что ребро dz было бы параллельно ускорению свободного падения (рис.3.3).

Рис. 3.3

Запишем уравнения равновесия этого объема в поле силы тяжести. На нижнюю грань выделенного объема вдоль оси z действует давление p с силой pdxdy. На верхнюю грань действует давление с силой

() dxdy, направленной противоположно оси z. В этом же направлении действует и сила тяжести dG=rgdxdydz. В направлении осей x и y никаких сил, кроме сил давления не действует. Уравнения равновесия в проекциях на оси координат будут такими:

.

После сокращений получим:

.

Из полученных уравнений видим, что давление p изменяется только под действием силы тяжести, действующей в нашем случае в направлении, противоположном оси z. Поэтому частную производную можно заменить полной и условие равновесия единицы объема жидкости в поле силы тяжести записать в виде основного уравнения гидростатики в дифференциальной форме:

или . (3.1)

Из этих уравнений видно, что в поле силы тяжести с увеличением высоты (расстояния от поверхности Земли) давление в жидкости уменьшается. Проинтегрировать основное уравнение гидростатики можно, если известна зависимость плотности от давления. Если жидкость несжимаема (r=const.), то плотность не зависит от давления и давление будет равно после интегрирования:

p= - rgz+const.

Постоянную интегрирования нужно определять из граничных условий.

Пусть, например, жидкость находится в сосуде, и ее свободная поверхность располагается на высоте z _о (рис.3.4). На свободную поверхность действует давление p ₀. Необходимо определить давление на высоте z в точке М. Уравнение равновесия для единицы объема жидкости на свободной поверхности z=z_о (Рис. 3.4): p ₀ = - rgz ₀ +const. (3.2)

0 0 Рис.3.4

Для единицы объема жидкости на высоте z основ-ное уравнение гидростатики: p= - rgz+ const (3.3). или . (3.3а) Из уравнения (3.2) находим const= p о+ rgz а и

подставляем ее в уравнение (3.3): p=p _о+ rg (z _о -z).

Если ввести переменную h=z - z₀, которую назовем глубиной погружения, то основной закон гидростатики для несжимаемой жидкости будет выглядеть таким образом:

p= p ₀+ rgh, (3.4)

которое можно прочитать так: давление в любой точке покоящейся жидкости складывается из давления на свободную поверхность жидкости p ₀ и веса столба жидкости rgh, или избыточного давления. Когда давление на свободную поверхность в открытых сосудах равно атмосферному, то говорят, что абсолютное давление равно сумме барометрического и манометрического давлений (атмосферное давление измеряют барометром, а избыточное давление – манометром). Если абсолютное давление ниже атмосферного, то разность между ним и атмосферным называют вакуумметрическим давлением или вакуумом.

Таким образом, различают следующие виды давления: атмосферное (барометрическое), абсолютное (полное), манометрическое и вакуумметрическое. Барометрическое В (атмосферное p_а) давление зависит от высоты места над уровнем Мирового океана и от погоды. За нормальное барометрическое давление принимают давление, равное 760 мм рт.ст., что соответствует p_а= 101 325 н/м². На уровне океана атмосферное давление наблюдалось в пределах от 90 000 н/м² до 110 000 н/м².

Давление, вычисляемое по формуле (3.4), называют абсолютным (полным). Когда давление на свободную поверхность равно атмосферному, т.е. p ₀ =p_a, то основное уравнение гидростатики перепишется так:

p = p_a + ρgh ≡ p_a+p_м ≡ p_a+∆p.

Таким образом, манометрическим давлением называют разность между абсолютным давлением p и атмосферным p_a, если p>p_a.

Когда в жидкости давление меньше атмосферного, то разность между атмосферным и абсолютным давлением называется вакуумметрическим давлением:

p _вак= p_a - p.

В этом случае абсолютное давление в жидкости вычисляется как:

p=p_a - ρgh≡p_a - p _вак≡ p_a - Δp.

Следствия:

1. с увеличением глубины погружения давление возрастает по линейному закону и тем быстрее, чем больше плотность жидкости;

2. на сколько изменилось давление на свободной поверхности, на столько оно изменится в любой точке жидкости.

Пример использования 2 следствия из основного уравнения гидростатики для несжимаемой жидкости. На рис.3.5 представлена схема гидравлической тормозной системы задних колес автомобиля.

Рис.3.5. N - ножная педаль; 2 — толкатель; 3 — главный тормозной цилиндр; 4 — поршень; 5 — клапан; 6 — трубопровод; 7 — колесный тормозной цилиндр; 8 — поршни; 9 — тормозные колодки; 10 — тормозной барабан; N — сила, приложенная к педали 1, р — давление в системе; Р1, — сила, действующая на поршень 4; Р2 — сила, создаваемая поршнями 8

Сила, приложенная к педали N, передается через толкатель 1 поршню 4 главного тормозного цилиндра 3, в котором создается давление

, где P₁ — сила, действующая на поршень 4; d₁ — диаметр поршня 4.

Вытесняемая жидкость поступает по трубопроводу 6 к колесному тормозному цилиндру 7 и действует на поршни 8, которые развивают силу P₂=pπd₂²/4,

где р — давление, создаваемое в главном тормозном цилиндре; d₂ — диаметр поршней 8.

Поршни 8, перемещаясь, прижимают колодки 9 к тормозному барабану 10, осуществляя торможение колеса.

Дата добавления: 2014-01-11