Ортогональные системы

До сих пор мы выводили формулы для расчета коэффициентов разложения в ряды Фурье, пользуясь только свойствами тригонометрических и экспоненциальных функций. Возможно ли использование других функций? Для ответа на этот вопрос введем понятие ортогональных функций.

Бесконечная система функций :

(7)

называется ортогональной на отрезке , если выполняются следующие условия для скалярного произведения функций:

(8)

Первое из условий определяет попарную ортогональность функций системы (8). Второе - то, что ни одна из функций системы не равна тождественно нулю.

Примером ортогональных функций на отрезке служат системы:

- тригонометрическая

- экспоненциальная

,

а также система функций Бесселя, полиномы Лагранжа и др.

Система функций (12) называется нормированной, если то есть:

.

Всякую ортогональную систему функций можно нормировать путем подбора таких постоянных , что новая система функций

будет удовлетворять условию нормированности. Убедимся в этом.

Пусть система функций (7) ортогональна, но не нормирована, то есть:

Подберем множители таким образом, чтобы

Проверим новую систему функций на нормированность:

Величину называют нормой функции и обозначают Если система функций (7) нормирована, то

2.4.1 Ортогонализация Грамма-Шмидта

На базе неортогональной системы функций можно построить ортогональную систему, используя алгоритм Грамма-Шмидта.

В качестве базисных функций выбирают, например, функции, являющиеся последовательностью степеней аргумента x:

Ортогональную систему функций строят по следующему правилу:

(9)

Рассчитаем коэффициенты разложения . Для примера рассмотрим функцию :

.

Умножим ее на функцию, стоящую при искомом коэффициенте, то есть на и проинтегрируем результат на отрезке [a, b]:

.

В силу ортогональности построенных функций, левая часть равенства равна нулю, откуда находим:

.

По аналогии рассчитываем коэффициенты :

(10)

В случае дискретности аргумента x интегралы в формуле (10) заменяются суммами:

, (11)

где – номер точки, то есть

2.5 Обобщенный ряд Фурье

Пусть функция задана на отрезке и может быть представлена в виде сумы ряда по функциям ортогональной системы (7):

, (12)

где – постоянные.

Выведем формулу для вычисления коэффициентов Для этого умножим левую и правую часть выражения (12) на функцию, стоящую при искомом коэффициенте, и проинтегрируем полученный результат на отрезке :

.

Учитывая свойство ортогональности системы функций (12), получим:

,

откуда искомые коэффициенты:

. (13)

Разложение функции в ряд (12) по функциям ортогональной системы (12) носит название обобщенного ряда Фурье при условии, что коэффициенты разложения определяются по формуле (13).

Тригонометрические функции являются примером ортогональной системы функций на интервале длиной : Поэтому тригонометрический ряд Фурье является частным случаем обобщенного ряда Фурье:

Сравним его с обобщенный рядом (12):

Дата добавления: 2014-01-11