КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Определение предела функции нескольких переменных такое же, что и для функции одной переменной. Для простоты формулировки рассмотрим определение для n= 2. Определение. Число А называется пределом функции двух переменных f (х, у) при х® х0, у® у0 (или при М ® М0), если" e >0 $ d e > 0 такое, что для всех точек d-окрестности точки М0 (х0, у0) выполняется неравенство , (1) если (х, у)Î U d (M 0) (2) В этом случае пишут: , или. Условие (2) означает, что точка М (х , у) принадлежит d - окрестности точки М 0 (х 0, у 0) и не совпадает с точкой М 0. Согласно определению, предел А не зависит от способа приближения точки М к точке М 0: чтобы существовал предел f (М) при М® М 0, все пределы по бесконечному множеству различных путей должны существовать и быть равными В этом отношении для функции одной переменной дело обстоит проще; т.к. здесь х® х 0 только по двум направлениям: слева и справа (рис. 7, б). Для существования необходимо и достаточно, чтобы ; . Так как определение предела для функции f (х, у) логически совпадает с определением предела для функции одной переменной, то остаются в силе все теоремы о пределе функции и правила их вычисления. Иногда при вычислении предела функции двух переменных можно поступать следующим образом: вычисляют предел функции f (х, у) по всем возможным прямым, проходящим через точку М 0 (при М ®М 0), если все эти пределы равны числу А, то . Пример 1. Показать, что Пусть М ® М 0 по прямой y=kx.. Тогда 0. Значение предела не зависит от k, т.е. от направления прямой, поэтому А= 0. Пример 2. Найти (y=kx)= Для разных прямых (различные k) получаем различые значения предела. Значит в точке О (0,0) функция предела не имеет. Функция f(х,у) называется бесконечно малой, если .
Функция f (х,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если точка М0 принадлежит области определения функции и если (3)
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 284; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |