Тема 2. Элементы аналитической геометрии

2.1. Основные формулы аналитической геометрии

Если на плоскости заданы две точки и , то расстояние между ними находится по формуле

.

(2.1)

Направление отрезка определяется углом наклона этого отрезка к оси абсцисс. Угол , образованный отрезком с положительным направлением оси , выражается через координаты концов отрезка по формуле

.

(2.2)

Если точка лежит на прямой, проходящей через точки и , и дано отношение , в котором точка делит отрезок , то координаты точки определяются следующими формулами:

, .

(2.3)

В частности, если точка – середина отрезка , то:

, .

(2.4)

Если даны координаты трех вершин треугольника , и , то площадь треугольника определяется по формуле:

,

(2.5)

причем знак перед определителем выбирается в зависимости от знака самого определителя так, чтобы число было положительным.

Пример 2.1. На оси ординат найти точку, отстоящую от точки на расстоянии 5 единиц.

Решение. Если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю, т.е. точка имеет координаты . Определим расстояние между точками и по формуле (2.1) , которое, по условию задачи, равно 5, т.е. , отсюда следует и . Значит, , .

Итак, существуют две точки и , отстоящие от точки на расстоянии 5 единиц.

Пример 2.2. Какой угол образует с осью прямая, проходящая через точки и .

Решение. Определим тангенс угла, под которым отрезок наклонен к оси по формуле (3.2): . Эта формула верна при любом расположении точек и . Таким образом, . Угол отсчитывается от оси против часовой стрелки.

Пример 2.3. Даны три вершины параллелограмма , и . Найти четвертую вершину , противоположную вершине .

Решение. Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки – пересечения диагоналей, найдем как координаты середины отрезка по формуле (2.4):

; ; .

Зная координаты точки – середины диагонали и координаты одного из ее концов , определим координаты вершины параллелограмма:

; ; ; .

Итак, вершина .

Пример 2.4. Прямая проходит через точки и . На этой прямой определить точку, абсцисса которой равна 3.

Решение. Точка лежит на прямой и делит отрезок в отношении . Зная абсциссу точки , найдем и ординату этой точки по формуле (2.3):

или , тогда .

Итак, .

Пример 2.5. Определить площадь параллелограмма, три вершины которого суть точки , и .

Решение. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника (формула (2.5)):

, где ед.кв.

Значит, ед.кв.

2.2. Прямая на плоскости

в прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору,

,

(2.6)

где – вектор, перпендикулярный прямой; – заданная точка.

2. Общее уравнение прямой

.

(2.7)

3. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении,

,

(2.8)

где – заданная точка; – угловой коэффициент прямой, т.е. тангенс угла, который образует прямая с положительным направлением оси .

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и ,

.

(2.9)

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

,

(2.10)

где – угловой коэффициент прямой; – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

6. Уравнение прямой в отрезках на осях

,

(2.11)

где и – величины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Зная уравнения прямых или точки на них, можно определить:

1. Угловой коэффициент прямой

или .

(2.12)

2. Угол между прямыми

или .	(2.13)

3. Условия параллельности двух прямых

или .

(2.14)

4. Условия перпендикулярности прямых

или .

(2.15)

5. Расстояние от точки до прямой

.

(2.16)

Пример 2.6. Найти прямую, проходящую через точки и .

Решение. Уравнение прямой по формуле (2.9) имеет вид

или .

Пример 2.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси абсцисс.

Решение. Прямая определена точкой и направлением, где . Искомое уравнение по формуле (2.8) будет

или .

Пример 2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и и точку .

Решение. Найдем точку пересечения данных прямых, решив систему уравнений

, .

Точка пересечения прямых . Уравнение прямой, проходящей через две точки и , по формуле (2.9) будет выглядеть так:

или ,

откуда получим общее уравнение искомой прямой по формуле (2.7)

.

Пример 2.9. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Так как прямая проходит через точку перпендикулярно вектору , то воспользуемся уравнением (2.6), подставив в него: , , , . В результате получим

или .

Это уравнение прямой является общим (формула 2.7). Для того, чтобы построить прямую по ее уравнению, надо найти координаты двух ее точек. Выбрав , получим из уравнения прямой , а полагая , будем иметь . Прямая пересекает координатные оси в точках и . Строим прямую (рис. 2.1):

у

1

1 х

Рис. 2.1 – График прямой

Пример 2.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и удаленной от начала координат на расстояние 5 единиц масштаба.

Решение. Уравнение искомой прямой запишем в виде (2.8), подставив вместо , координаты заданной точки. Полученное уравнение приведем к общему виду (2.7):

.

Начало координат находится на расстоянии 5 единиц от этой прямой. Используя формулу (2.16), получим уравнение для определения коэффициента :

,

откуда . После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения получим

, откуда .

Следовательно, искомое уравнение запишется так:

или .

Дата добавления: 2014-11-06