Представление статистических данных

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Генеральная и выборочная совокупность.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая статистика – наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания закономерностей случайных массовых явлений.

Не всегда возможно (а практически очень редко) исследовать по тому или другому признаку всю совокупность. В этих случаях прибегают к изучению части ее, по которой делают общее заключение. Такой метод называется выборочным и считается основным при статистическом изучении совокупности.

Таким образом, всю группу объектов, подлежащую изучению, называют совокупностью или генеральной совокупностью, а ту часть объектов, которая попала на проверку, исследование, — выборочной совокупностью или просто выборкой. Число элементов в генеральной совокупности и выборке называют их объемом.

Главная цель выборочного метода — по статистическим показателям малой выборки (средней пробе) возможно точнее охарактеризовать всю совокупность объектов, которая в статистике и называется генеральной совокупностью.

Случайный отбор – непременное требование к выборке.

Разумеется, для получения выводов, отражающих истинную картину, необходимо, чтобы в выборке были представлены характерные черты генеральной совокупности. Иначе говоря, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Одним из основных способов достижения этого является случайный отбор.

Различают 5 основных типов выборок.

1)Собственно случайная:

а) повторная (элементы после выбора возвращаются обратно);

б) бесповторная (выбранные элементы не возвращаются)

2) Типическая – генеральная совокупность предварительно разбивается на группы типических элементов, и выборка осуществляется из каждой 3) Механическая – отбор элементов проводится через определенный интервал (н-р при анализе качества яиц, сходящих с ленты контейнера, отбирается каждое 30-е яйцо).

4) Серийная – отбор проводится не по одному элементу, а сериями для проведения сплошного обследования.

5) Комбинированная – используются различные комбинации выше указанных методов, н-р, типическая выборка сочетается с механической и собственно случайной.

Исследуемые в выборке признаки могут быть как количественными, так и качественными (атрибутивными). В свою очередь, количественные признаки подразделяются на дискретные и непрерывные.

При обследовании объектов выборки или проведении каких-либо опытов получаемые значения признака записывают в таблицу исходных данных.

Пример 1. В результате проведения теста получены следующие данные:

Таблица 2.1

№
x

Если наблюдаемые значения записать в порядке их возрастания (или убывания) то получим ранжированный ряд: 96, 110, 110, 110, 138, 138, 142, 142, 175, 177. Число, показывающее, сколько раз встречается то или иное наблюдаемое значение называется абсолютной частотой (n_i). Сумма всех частот равна объему выборки. Таблицу 2.1. можно преобразовать следующим образом:

Таблица 2.2

x
n

Если наблюдаемые значения записать в виде неубывающей последовательности, то получим так называемый вариационный ряд: 96, 110, 138, 142, 175, 177. Члены такой последовательности называют вариантами.

Иногда вариационным рядом называют таблицу, подобную таблице 2. Числа второй строки таблицы 2.2 являются абсолютными частотами. Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой или частостью

Видим, что обследуемых клубней имеют массу 96 г, - массу 110 г, - массу 138 г, - массу 142 г, - массу 175г, - массу 177 г. Эти дроби называют относительными частотами или частотами. Составим таблицу относительных частот для массы клубней картофеля (табл. 2.3).

Таблица 2.3

x
Относит.частота	0,1	0,3	0,2	0,2	0,1	0,1

Частота р_i наблюдаемого значения х_i (i=1, 2,…,k) равна отношению числа появлений этого значения признака при проведении опытов (обследований) к общему числу таких опытов:

.

Общий вид таблицы частот может быть представлен следующим образом (табл. 2.4):

Таблица 2.4

Наблюдаемое значение хi	x1	x2	x3	…	xk
Частота рi	р1	р2	р3	…	рk

Соответствие между вариантами (абсолютными или относительными) называют статистическим распределением выборки.

Многочисленные значения непрерывной величины удобно группировать в отдельные интервалы. Для этого поступают следующим образом:

1) находим максимальное и минимальное значение вариант;

2) определяем размах выборки – разность между максимальным и минимальным значение вариант;

3) определяем число интервалов по формуле . Как правило, когда n находится в пределах 30…60, берут 6-7 групп, 60…100 – 7…8 групп, более 100 – 8…15 групп;

4) вычисляют интервал групп по формуле . Значения интервала группы для удобства округляют до целого числа.

Пример 2. Дана таблица измерений общей длины 100 растений льна, выраженных в сантиметрах (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Длина (см)	Число наблюдений	Длина (см)	Число наблюдений	Длина (см)	Число наблюдений

1) х_max=115, x_min=45; 2) х_max- x_min=115-45=70; 3) возьмем 7 интервалов;

4)

Разобьем эти данные на семь групп, имеющих равные интервалы по 10 см, и определим для каждого интервала отношение числа наблюдений, находящихся в этом интервале, к общему числу измерений (табл. 2.6).

Таблица 2.6

№	Длина (см)	Число растений льна
	45-55
	55-65
	65-75
	75-85
	85-95
	95-105
	105-115

Примечание. Если имеются граничные значения (например 75), то их значения можно относить к одному из соседних интервалов по своему усмотрению, но можно договориться всегда считать их правыми границами соответствующих интервалов.

Наглядное представление о распределении дает график.

Для построения графика дискретной изменчивости на оси абсцисс откладывают значения вариант – х_i, а на оси ординат - значения соответствующих частот – n_i. Иногда вместо точек (х_i,; n_i) наносят точки (х_i,; р_i), где - относительная частота (частость). Соединив точки последовательно отрезками прямых, получают ломанную линию, называемую полигоном или многоугольником распределения.

График интервального вариационного ряда называется гистограммой. Гистограмма частот представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению (плотность частоты, т.е. частота, отнесенная к единице интервала). Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е.объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Построим гистограмму для примера 2.

№	Длина (см)	Частота (ni)	Плотность частоты ()	Плотность относительной частоты ()
	45-55		0,4	0,04
	55-65		0,5	0,05
	65-75		2,7	0,27
	75-85		3,7	0,37
	85-95		2,1	0,21
	95-105		0,5	0,05
	105-115		0,1	0,01

Соответственно таблице 2.8, построим диаграмму накопленных частот (рис.2.3):

Дата добавления: 2014-11-06