КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
P.S. Не забудьте прихватить с собой небольшой сувенирчик. Будем обмениваться подарками. 4 страница
§ 22, Упругие волны в изотропной среде Если в деформируемом теле происходит движение, то температура тела, вообще говоря, отнюдь не постоянна, а меняется как со временем, щк и от точки к точке вдоль тела. Это обстоятельство сильно усложняет точные уравнения движения в общем случае произвольных движений. Обычно, однако, положение упрощается благодаря тому, что передача тепла из одного участка тела в другой (посредством простой теплопроводности) происходит очень медленно. Если теплообмен практически не происходит в течение промежутков времени порядка периода колебательных движений в теле, то можно рассматривать каждый участок тела как теплоизолированный, т. е. движение будет адиабатическим. Но при адиабатических деформациях alk выражается через иш по формулам обычного вида с той лишь разницей, что вместо обычных (изотермических) значений величин Е, а надо брать их адиабатические значения (см. § 6). Ниже мы будем считать это условие выполненным, и соответственно этому под Е и а в этой главе будут подразумеваться их адиабатические значения. Для того чтобы получить уравнения движения упругой среды, надо приравнять силу внутренних напряжений dathldxh произведению ускорения ut на массу единицы объема тела, т. е. на его плотность р: p**=ilr- (ад
Это — общий вид уравнений движения г).
В частности, уравнения движения изотропной упругой среды можно написать непосредственно по аналогии о уравнением равновесия (7,2). Имеем Р" = ТТГТ^)- AU + Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упруеие колебания или волны. Начнем с рассмотрения плоской упругой волны в неограниченной изотропной среде, т. е. волны, в которой деформация и является функцией только от одной из координат, скажем, от х (и qt времени). B<ie производные по у и z в уравнениях (22,2) исчезают, и мы получаем для отдельных компонент вектора и следующие уравнения: д2их 1 д*их _ n dbiy _____ 1 d2"gf _ n „. дх* ~ с\ di* ' Uj дх* cj dt* £~ и ^ ' > (уравнение для uz такое же, как для иу), где введены обозначения 1): °l = [р(1 + а)(1-2о) ] ' ' °t= Up Да) ] ' * (22'4) Уравнения (22,3) представляют собой обычные волновые уравнения в одном измерении, и входящие в них величины сг и ct являются скоростями распространения волны. Мы видим, что скорость распространения волны оказывается различной для компоненты их, с одной стороны, и компонент щ, иг — с другой. Таким образом, упругая волна представляет собой по существу две независимо распространяющиеся волны. В одной из них (их) смещение направлено вдоль распространения самой волны; такую волну называют продольной, она распространяется со скоростью Ci. В другой (иу, uz) — смещение направлено в плоскости, перпендикулярной направлению распространения; такую волну называют поперечной, она распространяется со скоростью ct. Как видно из (22,4), скорость сг всегда больше скорости ct 2):
Ci>(4/3)V2C<. (22,5)
Скорости сг и Ct называют продольной и поперечной скоростями звука. Мы знаем, что изменение объема при деформации определяется суммой диагон&&йъ1Х членов тензора деформации, т. е. величиной Hjj = div и. В поперечной волне имеются только компоненты uv, щ, и поскольку они не зависят ни от у, ни от г, для такой волны div и = 0. Таким образом, поперечные волны не связаны с избиением объема отдельных участков тела. Напротив, для продольных волн div и Ф 0; эти волны сопровождаются сжатиями и расширениями в теле. Разделение волны на две независимо распространяющиеся с разными скоростями части можно произвести и в общем случае произвольной (не плоской) упругой волны в неограниченном пространстве. Перепишем уравнение (22,2), введя в него скорости et и ct' Представим вектор а в виде суммы двух частей: и = щ + щ, (22,7) из которых одна удовлетворяет условию div щ = 0, (22,8) а другая — условию rot щ = 0. (22,9) Из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно (это есть представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра). При подстановке и = щ + щ в (22,6) получаем , и/ +»ь = с\ Д (и, + и,) + (с| - с|) grad div и,. (22,10) Применим к обеим сторонам этого уравнения операцию div. Поскольку div u( == 0, мы получим div щ = ct Д div ti/ -j- (cf — с?) Д div u,, или div {щ — с] Smi) = 0. С другой стороны, rot стоящего в скобках выражения тоже равен нулю в силу (22,9). Но если rot и div некоторого вектора исчезают во всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом, *£--с?Ди, = 0. (22,11) Аналогично применяя к уравнению (22,10) операцию rot и помня, что rot Uj = 0 и что rot всякого градиента равен нулю, находим rot(tb — с) Ди*) — 0.
Поскольку div стоящего в скобках выражения тоже равна нулю, то мы приходим опять к уравнению того же вида^как и (22,11); -gL_c?Au, = 0. (22,12) Уравнения (22,11) и (22,-12) предс^анляют 'Собой обычные волновые уравнения (в трех измерениях). Каждое" цз них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно Cj или ct. Одна из этих волн (щ) не связана с изменением объема (в силу div щ — 0), а другая (аг) сопровождается объемными сжатиями и расширениями. В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид и = Ъе{щ(г)е~™\, (22,13) где и0 — функция координат. Эта функция удовлетворяет уравнению с] Au0 + (с/ — с?) grad div u0 + <o2u0 = 0, (22,14) получающемуся при подстановке (22,13) в (22,6). Продольная и поперечная части монохроматической волны удовлетворяют уравнениям Au^+fefo-O, Ди/+ ftfn,=0, (22,15) где ki — ю/cz, kt = ®кг — волновые векторы продольной и поперечной волн. Наконед, рассмотрим отражение и преломление плоской монохроматической уяругой волны на границе раздела между двумя различными упругими средами. При этом надо иметь в виду, что при отражении и преломлении характер волны, вообще говоря, меняется. Если на границу раздела падает чисто поперечная или чисто продольная волна, то в результате получаются смешанные волны, содержащие как поперечные, так и продольные части. Характер волны не меняется (как это явствует из соображений симметрии) только в случае перпендикулярного падения еолны на поверхность раздела и в случае падения под произволыгь™ углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колебаниями. Соотношения, определяющие направления отраженной и преломленной волн, могут быть получены непосредственно из постоянства частоты и касательных к поверхности раздела компонент волнового вектора *). Пусть 0 и 6' — угол падения и угол отражения (или преломления), г с, с' — скорости обеих рассматриваемых волн. Тогда ■^г = А-. (22,16)
sme с v > / Пусть, например+ падающая волна поперечна. Тогда о = ctt есть скорость поперечных волн в первой среде. Для поперечной же отраженной водаы имеем тоже с' = cttt и потому (22,16) даст
0 = 8', т. е. угол падения равен углу отражения. Для продольной же отраженной всэдны имеем с' = ctlt и потому s|n0 _ Cfi su10' ~ Сц ' Для поперечной части преломленной волны имеем с' = Ct% и при поперечной ш падающей волне имеем sin 9 ctl sin 0' Cj2 Аналогично двя продольной преломленной волны имеем sin 8 cti sine' ~ Ci% ' Задачи 1. Определить коэффициент отражения продольной монохроматической волны, падающей под произвольным углом на границу тела с вакуумом. Решение. При отражении под произвольным углом возникают как продольная, так и ^поперечная отраженные волны. Из соображений симметрии заранее ясно, что вектор смещения в поперечной отраженной волне будет лежать целиком в плоскости падения (рис. 20; п0, п;, щ — единичные векторы вдоль направлений падающей, продольной и поперечной отраженных волн, a u0, и;, щ — соответствующие векторы смещений). Полное смещение в теле равно сумме (общий множитель е~ш( для краткости опускаем) и = ЛоПое'к°г -f AtnieiklT + At [ъщ] е'к'г (а — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости падения). Абсолютные величины волновых векторов равны: k0 = ki = (n/ci, ki = Wcj, а углы падения 0o и отражения 6;, 0* связаны посредством 0; = 80, sin 0(= понент тензора деформации на границе тела получаем ихх = ik0 (А0 + А{) cos2 0О + iAtkt cos 0j sin 0t, uu = ik0(A0 + Ai), Cf sin 0„ —. Для ком-
■■ ik0 (A0 — Ai) sin 0O cos 60 —- Atkt (cosa Qt ■ - sin2 0t) (сбщие экспоненциальные множители опускаем). Компоненты тензора напря-»кений вычисляем по общей формуле (5,11), которую удобно писать здесь в виде °ik = 2Pcluik + Р (с? — 2с?) и/А*« Граничные условия на свободной поверхности среды гласят о^п^ = 0, откуда ахх = ОуХ = 0, и дают два уравнения, из которых можно выразить А\, At через А0. В результате вычисления получается
с2 sin 26, sin 200 — с] cos2 20, Ai = Аа At = —А0 ci sin 26, sin 200 + l\ cos2 26, При 90 = 0 имеем A\ = —Ай, At = 0, т. е. волна отражается целиком как продольная. Отношение перпендикулярной к поверхности среды компоненты плотности потока энергии в отраженной продольной волне к такому же потоку в падающей волне есть Rl-\A0 Аналогичное отношение для отраженной поперечной волны есть ct cos Of I At I2 ci cos 60 I A0 Разумеется, Ri -f- Rt = 1. 2. To же, если падающая волна поперечная (и направление колебаний в ней Решение. Волна отражается в виде поперечной же и продольной волн, причем Of = б0, cj sin 9; = cj sin 90. Полный вектор смещения: u = [ап„] Л0е'к°Г + mAietklT + [an(] AteklT. Для амплитуд отраженных волн получаются выражения At с\ sin 29, sin 290 — с| cos2 290 "^7_^sin26,sin290 + c.2cos22eQ ' At ________ 2c;ct sin 290 cos 280 A0 ~ c\ sin 29, sin 290 + cj cos2 20o ' 3. Определить частоты радиальных собственных колебаний упругого шара Решение. Выбираем сферические координаты с началом в центре шара. При радиальных колебаниях и направлено по радиусу и зависит только от г (и от t). Поэтому rot и = 0. Введем «потенциал» смещения <р согласно иг = и = = ду/дг. Выраженное через <р уравнение движения сводится к волновому уравнению с2 Дф = ф, или для периодических по времени (~е"*и') колебаний; *»--И-("£)-[1] « Решение, конечное во всем объеме шара, включая его центр, есть , sin kr ф= А — (временной множитель не пишем). Радиальные напряжения: °Yr = Р { iA ~ 2<$) «и + 2с*игг) = Р { (с? - Щ ДЧ> + 2c?q>" } или, использовав уравнение (1): —а„ = —со ш — 4с;— ш • Граничное условие агг (/?) = 0 приводит к уравнению kR 1 — (kRa/2ct)* '
(2)
(3) Его корни определяют частоты собственных колебаний <о = с;й. 4. Определить частоту радиальных колебаний сферической полости в неограниченной упругой среде, для которой с; s> cj. Решение. В неограниченной среде радиальные колебания полости сопровождаются излучением продольных звуковых волн, что приводит к потере энергии и тем самым к затуханию колебаний. При с; > cj (т. е. К > р.) это излучение будет слабым и можно говорить о собственных частотах колебаний с малым коэффициентом затухания. Ищем решение уравнения (I) в виде расходящейся сферической волны л еШ h "> г С), j и с помощью (2) получаем из граничного условия arr (R) = 0 Отсюда (при С\ > с() Вещественная часть о дает собственную частоту колебаний, а мнимая — коэффициент затухания; в несжимаемой среде (сг оо) затухание, естественно, отсутствовало бы. Эти колебания — специфический результат сопротивляемости среды по отношению к сдвигу (р, Ф 0). Обратим внимание на то, что для них kR = 2с*/с; <; 1, т. е. соответствующая этим колебаниям длина волны велика ио сравнению с R (интересно4 сравнить это с колебаниями упругой сферы, для которых при с; > ct первая собственная частота определяется согласно (3) из kR = я).
§ 23. Упругие волны в кристаллах Распространение упругих волн в анизотропной среде, т. е. в кристаллах, подчиняется более сложным закономерностям, чем распространение волн в изотропном теле. Для исследования таких волн надо обратиться к общим уравнениям движения
и воспользоваться для aik общим выражением (10,3) Соответственно сказанному в начале предыдущего параграфа под kikim наД° везде подразумевать адиабатические значения модулей упругости. Подставляя olk в уравнения движения, получаем j dtilmIjklm д f dut, dum \
___ 1» д^щ i 1 1 6%m — 2 лШт ajCftdjCm -r- 2 лШт axftdxi " Поскольку тензор ЯШт симметричен по индексам / и т, то, меняя во втором члене обозначение индексов суммирования / и т на обратное,, находим, что первый и второй члены тождественны. Таким образом, получаем уравнения движения в виде pfl'=w5?fe-- (ад Рассмотрим монохроматическую упругую волну в кристалле. Для этого мы должны искать решение уравнений движения в виде щ = uaiel <кг-и'> (ит — постоянные), причем соотношение между волновым вектором к и частотой со должно быть определено так, чтобы написанная функция действительно удовлетворяла уравнению (23,1). Дифференцирование и| по времени приводит к умножению на—to, а дифференцирование по xk — к умножению наi&ft. Поэтому уравнение (23,1) после подстановки превращается в
Написав ut = 8imum, переписываем это равенство в виде (pco26im - lih[mk^i) ит = 0. (23,2) Это — система трех однородных уравнений первой степени относительно неизвестных их, иу, иг. Как известно, такая система имеет отличные от нуля решения лишь при условии равенства нулю определителя коэффициентов уравнений IWA-P»2L| = 0. (23,3) Этим уравнением определяется зависимость частоты волны от> волнового вектора; об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее его уравнение называют дисперсионным. Уравнение (23,3) — третьей степени по о»2. Оно имеет три, вообще говоря, различных корня со2 = со| (к) — три, как говорят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23,2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, — как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, уравнения (23,2) не определяют, конечно, абсолютной величины вектора и, остающейся произвольной) *). Направления поляризации трех волн с одним и тем же волновым вектором к взаимно перпендикулярны. Это важное утверждение следует прямо из того, что уравнение (23,3) можно рассматривать как уравнение, определяющее главные значения симметричного тензора второго pajHra ^ihimkkki [2]); уравнения же (23,2) определяют главные направления этого тензора, которые, как известно, взаимно перпендикулярны. Ни одно из этих направлений, однако, не является, вообще говоря, ни чисто продольным, ни чисто поперечным по отношению к направлению к. Скорость распространения волны (ее групповая скорость) дается производной U = -|£- (23,4) (см. VI, § 67). В изотропной среде зависимость со (к) сводится к пропорциональности абсолютному значению k, и потому направление этой скорости совпадает с направлением волнового вектора. В кристаллах это не так, и направление распространения волны не совпадает, вообще говоря, с направлением к. Векторы к и U кол-линеарны для некоторых исключительных направлений осей симметрии кристалла. Из дисперсионного уравнения (23,3) видно, что в кристалле со является однородной функцией первого порядка от компонент вектора к (если ввести в качестве неизвестной величины отношение ы/k, то коэффициенты уравнения не зависят от k). Поэтому скорость U — однородная функция нулевого порядка от kx, ky, kz. Другими словами, скорость распространения волны, являясь функцией ее направления, не зависит от частоты.
Если построить в k-пространстве (т. е. в координатах kx, kyi kz) поверхность постоянной частоты, to (k) = const (для какой-либо из ветвей закона дисперсии), то направление вектора (23,4) совпадает с нормалью к поверхности. Очевидно, что если эта поверхность всюду выпуклая, то связь между направлениями U и к взаимно однозначна: каждому направлению к отвечает одно определенное направление U и наоборот. Если же поверхность постоянной частоты не всюду выпукла, то эта связь становится не взаимно однозначной: каждому направлению к по-прежнему УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ отвечает (в данной ветви закона дисперсии) одно направление U, но заданное направление I) может осуществляться с различными направлениями к. Задачи 1. Определить закон дисперсии упругих волн в кубическом кристалле, Решение. В кубическом кристалле отличны от нуля упругие модули ХХХхх = ^i, Ххкуу ее Х2, Ххуху = Х3 (и равные им компоненты тензора с заменой индексов х, у другими из х, у, г — см. § 10); оси х, у, г направлены вдоль ребер куба. а) Выберем плоскость (001) в качестве плоскости х, у и пусть 6 — угол рсо2, 2 = V^2 + Ь3 ± [(\ - hf~ 4 (*i + Ц (S - h - 2h)sln2 9 cos2Qf'2}, рш2 = X^k2. Волна третьей ветви поперечна и поляризована вдоль оси г. Волны первых двух ветвей поляризованы в плоскости х, у. Из соображений симметрии очевидно, что скорость распространения U = дшдк всех этих волн тоже лежит в плоскости х, у, поэтому для ее вычисления достаточно полученных выражений. При 6 = 0 (к вдоль оси х) имеем рсо? = А,]£2, pcof, = X,k2, причем волна / продольна (поляризована вдоль оси х), а волна 2 поперечна (поляризована вдоль оси у). При 0 = я/4 (к вдоль диагонали грани куба) имеем pcof = V, (Ч + Х2 + 2*3) k\ pcol = V. (Xj - Х2) k\ Волна 1 продольна, а волна 2 поперечна и поляризована в плоскости х, у. б) В этом случае волновой вектор имеет компоненты kx — ky = kz = рш? = + 2Я2 + 4Х3), Р»1,з = Vs^2 (A-i — Х-2 + Х3). Волна / продольна, волны 2 и 3 поперечны. 2. Определить закон дисперсии упругих волн в кристалле гексагональ- Решение. Гексагональный кристалл имеет пять независимых упругих модулей (см. задачу 1 § 10), для которых введем обозначения: Ххххх = ^"uvvv = а' ^хуху = ^> Хххуу = а 2Ь, Xxxzz = Xyyzz — с, Ххгхг = Xyzyz — d, Xzzzz = f. Ось z направлена по оси симметрии шестого порядка, направления же осей х, g могут быть выбраны произвольно. Выберем плоскость xz так, чтобы в ней лежал волновой вектор к. Тогда kx = k sin 6, ky == 0, kz — k cos 9, где 9 — угол между к и осью z. Составляя уравнение (23,3) и решая его, найдем рсо? = ft2 (6 sin2 9-f-d cos2 9), pcof,з = V262 {a sin2 6 + /cos2 9 + d ± ± [{(a- d) sin2 9 + (d - f) cos2 9)2 + 4 (c +. df sin2 6 cos2 б]1'2}. При в = 0 имеем pco|l2=fe4 pal = krf; волна 3 продольна, волны 1 и 2 поперечны.
§ 24. Поверхностные волны Особым видом упругих волн являются волны, распространяющиеся вблизи поверхности среды и не проникающие в глубь нее — волны Рэлея (Rayieigh, 1885). Напишем уравнения движения в виде (22,11—12)1 -|^-£2Лы=0 (24,1) (где и — какая-либо из компонент векторов щ, щ, а с — соответствующая ей скорость Ci или сг), и будем искать решения, отвечающие поверхностным волнам. Поверхность упругой среды будем предполагать плоской, и выберем ее в качестве плоскости х, у\ области среды пусть соответствуют z < 0. Рассмотрим «плоскую» монохроматическую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль оси х\ функция и {£, х, г) в ней имеет вад
где функция / (г) удовлетворяет уравнению /" = и2/; введено обозначение х = (&2 - ©Ус2)'/*. (24,2) Если к? — со2/с2 < 0, то / (г) — периодическая функция, т. е. мы получили бы обычную плоскую волну, не исчезающую во всем объеме среды. Поэтому надо считать, что № — ъ>Ус2 g> 0, и % — вещественное число. Уравнение имеет решения вида ехр (±хг); из них надо выбрать то, которое затухает при z~> — со. Таким образам, мы приходим к следующему решению уравнений движения: U = Const ё (к*-Ы)#аш (24,3) Оно соответствует волне, быстро (экспоненциально) затухающей внутрь тела, т.е. распространяющейся только вблизи его поверхности. Величина к определяет скорость этого затухания. Истинный вектор деформации и в волне является суммой Еекто-ров щ и щ, компоненты каждого из которых удовлетворяют уравнению (24,1) со скоростью с = ct для щ м с — ct для щ. В случае объемных вола в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозможным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов щ и и{. По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла i 24i поверхностные волны
параллельных и перпендикулярных к направлению распространения компонент смещения. Для определения линейной комбинации векторов щ и щ, дающей истинное смещение и, надо обратиться к предельным условиям на границе тела. Отсюда же определится связь между волновым вектором к и частотой со, а следовательно, и скорость распространения волны. На. свободной поверхности должно выполняться условие athnh — 0. Поскольку вектор нормали п направлен по оси г, то отсюда следуют условия Охг = Oyt = Ozz = О, откуда = 0» и»* = 0, о (ихх + ит) -f (1 - а) uzz = 0. (24,4) Поскольку все величины не зависят от координаты yt то второе из этих условий дает „ _ 1 (диу. Л!кЛ — А.диу — п и»г ~ 2 \~дГ ду) ~ 2 ~Ы С учетом (24,3) отсюда следует аи = 0. (24,5) Таким образом, в поверхностной волне вектор деформации и лежит в плоскости, проведенной через направление распространения перпендикулярно к поверхности. «Поперечная» часть волны щ должна удовлетворять условию (22,8) div щ = 0, или
дх ' дг Ввиду (24,3) это условие приводит к равенству ikutx+ щии = 0, определяющему отношение utx!utz. Таким образом, имеем utx — Kta е^Р (ikx + xtz — Ш), «(i =—i&a exp (ikx -\- щг — t©^)> (24,6) где a — постоянная. «Продольная» часть иг удовлетворяет условию (22,9) rot и, = = 0, или дщх дм(г = 0, дг дх откуда ikuu — KiUtx = 0, к* = (k2 — со2/с2)1/2. щх = kbe^+^f-^, и1г = —щЬ^кх^\г-ш, (24,7) теперь воспользуемся первым и третьим из условий (24,4). выражая uih через производные от ыг и вводя скорости сг и Ct, переписываем эти условия в виде дих, диг _ n
Дата добавления: 2014-11-07; Просмотров: 336; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |