Интегрирование по частям

Вычисление неопределенных интегралов с применением формулы

Если числитель подынтегральной функции является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя.

Данная формула представляет собой обобщение табличного интеграла 3, если вместо переменной подставить дифференцируемую функцию.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2.. 3.. 4..

Решение

1..

2..

3..

4..

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:

1) 3)

2) 4)

5) 7)

6) 8)

2. Вычислить неопределенные интегралы:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

1.5. Замена переменной в неопределенном интеграле
(метод подстановки)

Если интеграл не может быть вычислен непосредственно, то во многих случаях введением новой переменной интегрирования подынтегральное выражение может быть преобразовано к виду, интеграл от которого является табличным, или его можно преобразовать к табличному.

Пусть требуется вычислить интеграл, не являющийся табличным. Введем вместо новую переменную, связанную с зависимостью, где – дифференцируемая функция, для которой существует обратная функция. Тогда и будет иметь место формула:

,

которая называется формулой замены переменной.

Важно иметь ввиду, что дифференциал должен быть заменен на дифференциал новой переменной.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2.. 3.. 4..

Решение

1. Можно заметить, что и множитель есть в подынтегральной функции. Поэтому подстановка упростит интеграл и приведет его к табличному.

Положим, тогда нам нужно найти дифференциал этой переменной, т. е. и получим:

,

где – произвольная постоянная. Сделаем обратную замену переменной:

2. Так как производная функции lnx совпадает с производной подкоренного выражения и равна, то удобно в качестве новой переменной выбрать именно его. После замены переменной вычисляем ее дифференциал. Таким образом,

3. Так как, то интеграл можно записать в виде

Замечая, что, сделаем следующую подстановку:

4. После замены найдем дифференциал новой переменной и выразим dx, тогда

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1)

Пусть функции и имеют непрерывные производные, найдем производную их произведения:

.

Проинтегрируем обе части равенства:

.

С учетом свойства 3 неопределенного интеграла имеем:

.

Кроме того,

Константу можно включить в неопределенные интегралы, входящие в это равенство, тогда:

После преобразований получим формулу интегрирования по частям:

Перечислим основные типы интегралов, вычисляемых этим методом, и укажем целесообразное разделение подынтегрального выражения на и.

1.,

где – многочлен степени относительно; a – произвольная постоянная. В интегралах такого типа рекомендуются обозначения:

В этих интегралах интегрирование по частям применяется столько раз, какова степень многочлена, т. е. раз.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2.. 3..

Решение

2.

3.

При вычислении этого интеграла формулу интегрирования по частям надо применить еще раз:

2.

где – многочлен степени относительно; a – произвольная постоянная. В интегралах такого типа рекомендуются обозначения:

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2..

Решение

1.

2.

3.

При интегрировании функций вида интегрирование по частям применяется дважды, в результате чего получается уравнение, из которого и находится исходный интеграл. Такие интегралы называются «круговыми» (циклическими). Причем в обоих случаях в качестве множителя берется функция одного и того же типа: показательная или тригонометрическая.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2.

Решение

1.

Получили уравнение относительно исходного интеграла:

Отсюда найдем интеграл:

2.

Получили уравнение относительно исходного интеграла:

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5)

Дата добавления: 2014-10-15