Тема 6.2. Принятие решений в условиях полной неопределенности

Нечеткие множества. Приведем примеры нечетких множеств.

1) Множество нескольких студентов из данной группы;

2) Множество нескольких натуральных чисел из множества действительных чисел;

3) Множество чисел, близких к числу 7.

4) Множество корпораций, использующих прогрессивную технологию.

5) Множество высоко прибыльных предприятий.

6) Множество городов «добра и благополучия».

Эти примеры показывают, что нечеткое множество получается из-за размытости (нечеткости) используемых понятий: «нескольких», «близких к», «прогрессивная технология», «высокая прибыль», «добро и благополучие». Таким образом, нечеткие множества получаются из-за нечеткости понятий и условий, нечеткости ограничений и утверждений.

Определение. Нечетким множеством А на некотором базовом (универсальном) множестве Х называется множество упорядоченных пар

А = {x/f(x)}, где f(x) – функция принадлежности, отображающая множество Х в отрезок [0;1].

Отметим, что f(x) имеет сходство с вероятностью р(х), ибо так же как и f(x) принадлежит отрезку [0;1], но если р(х) – объективная величина, то f(x) – субъективная величина, к тому же сумма значений f(x) может принимать любое неотрицательное значение.

Пример. Пусть Х – множество натуральных чисел, меньших 6. Тогда нечеткое множество может иметь вид:

А = {(1/0), (2/0,1), (3/0,3), (4/0,6), (5/0,2)}.

Пример. Пусть Х – множество городов добра и благополучия. Тогда нечеткое множество может иметь вид:

А = {Калуга/0,2; Орел/ 0,1; Тула/0,1; Белгород/0,5; Рязань/0,3}.

Разумеется в этом примере отражено субъективное мнение о наличии «добра и благополучия» в перечисленных городах.

Функция принадлежности может быть задана аналитически. Например:

А = {x/ }, где f(x) = -

функция принадлежности, стремящаяся к 1 при х стремящимся

к 7. Таким образом, А – нечеткое множество чисел, близких к 7.

К настоящему времени разработана алгебра нечетких множеств: определены такие операции над нечеткими множествами, как: сложение, умножение, дополнение, пересечение, объединение и другие, однако широкого практического применения теория нечетких множеств к настоящему времени не получила.