Действия над матрицами

1) Сложение матриц и умножение матриц на число.

Складывать можно только матрицы одинакового порядка (с одинаковым числом строк и столбцов).

Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и .

, .

Пример: .

Чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на .

Пример: , . .

Матрица называется противоположной матрице и обозначается .

Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц

( – матрицы, – числа)

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

2) Умножение матриц.

Произведение матриц на определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получается матрица , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов сколько их в матрице .

Элемент матрицы , стоящий в -й строке и -м столбце равен сумме произведений элементов -й строки матрицы на соответственные элементы -го столбца матрицы . Поэтому правило умножения матриц часто называют правило умножения «строки на столбец».

; .

Обозначим элементы через . Тогда .

Свойства умножения матриц

1.

2.

3.

4.

5. . Матрицы, для которых выполняется равенство , называются перестановочными.

6. , где – единичная матрица. Т. об., матрица при умножении матриц играет такую же роль, что и число 1 при умножении чисел.

7.

8. произведение матриц может оказаться нулевой матрицей, хотя оба сомножителя не являются нулевыми матрицами.

; ; .

Транспонированная и обратная матрица.

Пусть даны матрицы и ,

которую получают из матрицы , заменяя строки на столбцы, а столбцы на строки, называется транспонированной матрицей по отношению к матрице .

Если размер матрицы , то размер матрицы

Повторное транспонирование приводит к исходной матрице.

Свойства транспонирования

1.

2.

3.

Рассмотрим квадратную матрицу .

Эта матрица называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу , что .

Здесь матрица называется обратной квадратной матрице . Для каждой матрицы существует лишь одна обратная матрица. Если для матрицы существует обратная матрица, то ее будем обозначать . Итак, квадратная матрица обратима, если она имеет матрицу , такую что .

Не каждая квадратная матрица имеет обратную. Например, нулевая матрица не имеет обратной матрицы .

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной в противном случае.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена.

Пусть дана матрица . Вычислим определитель матрицы

.

Если , то матрица имеет обратную матрицу, которая вычисляется по формуле:

,

Где – алгебраические дополнения определителя .

Свойства, связанные с обратной матрицей

1) ; 2) ; 3) .

Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матрично- векторной форме.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

Введем обозначения:

; ; .

Т. к. столбцов у матрицы ровно столько сколько координат у вектор-столбца , то определено произведение

.

Теперь систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде одного равенства .

В случае, когда матрица систему линейных уравнений квадратная, причем обратимая, эту систему можно решить в матричной форме. Для это умножим слева обе части этого равенства на матрицу . Получаем

.

Данный способ особенно удобен для решения системы уравнений, когда матрица остается неизменной, а столбец свободных членов принимает различные числовые значения.

Пример: Решить матричным способом систему уравнений

; ; . .

. .

.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

(методом последовательного исключения неизвестных).

Ранее мы рассматривали решение систем линейных алгебраических уравнений при помощи определителей (методом Крамера). Но, если число уравнений в системе больше трех, то пользоваться формулами Крамера затруднительно (большой объем вычислений). Более того, число уравнений в системе может не совпадать с числом неизвестных. Тогда рассмотренные ранее методы решения систем уравнений непригодны. Поэтому рассмотрим наиболее удобный метод нахождения решений систем – метод Гаусса.

В данном методе нам придется делать такие преобразования систем линейных уравнений:

1) умножать какое – либо уравнение системы на один и тот же числовой множитель;

2) вычитать или складывать уравнения системы.

Такие преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате этих преобразований получают новую систему, которая будет эквивалентна исходной. Может случиться, что после выполнения элементарных преобразований в нашей системе появятся уравнения,все коэффициенты левой части которого равны нулю.

Если свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, т. е. является верным и поэтому отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной.

Если же свободный член рассматриваемого уравнения отличен от нуля, то это уравнение является неверным(не имеет решений), а значит вся система решений не имеет.

Системы, в которых в каждом последующем уравнении число неизвестных меньше на единицу называются треугольными.

Приведение матрицы системы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.

Последовательное нахождение переменных называется обратным ходом метода Гаусса.

Метод Гаусса применим к любой системе линейных алгебраических уравнений. Совместная система уравнений будет определенной (иметь единственное решение), если она приводится к треугольному виду и неопределенной (будет иметь бесконечное множество решений), если приводиться к трапецеидальному виду. Это возможно, если число уравнений в системе меньше числа неизвестных, тогда система не может приводиться к треугольному виду, т. к. в процессе преобразований по методу Гаусса число уравнений системы может уменьшаться, но не может увеличиваться, следовательно, она приводиться к трапецеидальному виду. Рассмотрим метод Гаусса на примере.

Пример: Решить систему методом Гаусса.

Ответ: (1;-1;2)

Ранг матрицы. Критерий разрешимости линейной системы уравнений.

Рассмотрим матрицу .

К элементарным преобразованиям матрицы относят следующие преобразования:

1) обмен местами двух ее строк или столбцов;

2) умножение всех элементов строки или столбца на произвольное отличное от нуля число;

3) прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующей строки или столбца, предварительно умноженных на одно и то же число.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к специальному виду:

.

Число -единиц. Стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения к виду и называется рангом матрицы .

Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями являются эквивалентными. У эквивалентных матриц одинаковые ранги, элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Пример: Найти ранг матрицы . Ранг данной матрицы равен двум.

Ранг матрицы можно найти иначе. Матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к следующему виду:

.

Тогда ранг матрицы , а значит и заданной матрицы совпадает с числом ее ненулевых диагональных элементов .

Пример: найти ранг матрицы

.

Число ненулевых строк последней матрицы является ее рангом. Т. е. .

Вернемся к системе уравнений. Выпишем из нее основную и расширенную матрицу:

;

основная расширенная

Теорема Кронекера –Капелли (критерий разрешимости линейной системы):

1) для того чтобы система уравнений была совместной (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т. е. .

а) если ранг основной и расширенной матрицы системы равны и совпадают с числом неизвестных, т. е. , то система имеет единственное решение;

б) если ранг основной и расширенной матрицы системы равны и меньше числа неизвестных, т. е. , то система имеет более одного решения.

2) Если ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система не имеет решений.

Пример: исследовать систему на совместность и решить ее если она совместна.

Векторная алгебра. n- мерные векторы.

Рассмотрим упорядоченную пару чисел в прямоугольной системе координат на плоскости. Она представляет собой некоторую точку плоскости и радиус-вектор .

Числа и называются координатами точки и одновременно радиус-вектора , где -начало вектора, -конец вектора. Вектора можно обозначать большими и малыми буквами латинского алфавита. Порядок чисел и нельзя путать.

Упорядоченная тройка чисел определяет в пространстве точку и радиус-вектор . Числа называются координатами точки и одновременно радиус-вектора .

Определение: Упорядоченный набор чисел будем называть - мерной точкой или -мерным вектором. Числа называются координатами вектора, число – размерностью вектора.

Точку с координатами будем обозначать , а соответствующий вектор . Координаты вектора можно записывать в столбец .

Геометрически вектор – это направленный отрезок прямой, который характеризуется длиной или модулем и направлением. Возьмем на плоскости в прямоугольной системе координат две точки и , соединим их прямолинейным отрезком, на котором укажем направление от точки к точке , получим вектор , где – начало, а - конец вектора.

Модуль или длину вектора будем обозначать . Длина (модуль) -мерного вектора вычисляется по формуле: .

Определение: Два вектора и равны между собой, если равны их соответствующие (одноименные) координаты: .

Определение: Вектор, у которого все координаты равны нулю, называется нуль-вектором, -мерный нуль-вектор обозначается: .

Определение: -мерный вектор, у которого -я координата равна единице, а все остальные нули, называктся -ым ортом или -ым единичным вектором, который будем обозначать: .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Сложение геометрических вектором осуществляется по двум правилам:

1. правило треугольника: 2. правило параллелограмма:

Пусть векторы заданы в координатах.

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов слагаемых, т. е. . Аналогично определяется разность двух векторов.

Определение: Произведением -мерного вектора на число называется вектор . Если , то вектор и сонаправлены (одинаково направлены), если , то вектор и противоположно направлены.

Операции сложения вектров и умножения вектора на число называются линейными операциями. Они удовлетворяют следующим свойствам:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

Определение: Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Обозначается скалярное произведение векторов и так: или (, ). Следовательно: = cosφ, отсюда cosφ= .

Скалярным произведением двух векторов, заданных в координатной форме, называется число равное сумме произведений одноименных координат.

Пусть на плоскости OXY заданы векторы =(a₁, a₂) и =(b₁, b₂), их скалярное произведение =a₁b₁+a₂b₂.

Свойства скалярного произведения:

- (переместительный закон),

- (распределительный закон),

- (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю λ),

- если , то или один из векторов нулевой.

Угол φ между векторами =(x₁, x₂,…, x_n) и =(y₁, y₂,…, y_n) найдем по формуле:

.

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов =(-1; 0; 7) и =(-3; 1; 5).

Решение. =-1(-3)+0∙1+7∙5=38.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов =(4; -2; 1; 0) и =(1; ; 5; 9).

Решение. =4∙1+(-2)∙ +1∙5+0∙9=8.

Пример 3. Найти угол φ между векторами =(0; 6; -2) и =(2; 2; -8).

Решение. Угол φ найдем используя формулу:

Определение: Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле

.

Определение: Деление отрезка в данном отношении вычисляется по формулам

.

Их этой формулы вытекают формулы нахождения середины отрезка:

.

Векторное произведение двух векторов.

Определение: Векторным произведением векторов a и b (обозначается [a,b] или aÄb) называется такой третий вектор с, который определяется следующими условиями:

1) модуль вектора ïсê=ïаïïbïsin()

2) c перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов с^а, с^b,

3) тройка векторов (a,b,c) одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов (i,j,k).

Свойства векторного произведения

1. Два вектора колинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

aïêb Û [a,b]=q

2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b (согласно определения).

ê[a,b]ï=S_пар.

3. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.

[la,b]= [a,lb]=l[a,b].

4. Векторное произведение двух векторов антикоммутативно, то есть если поменять местами сомножители, то векторное произведение изменит знак.

[a,b]= - [b,a].

5. Векторное произведение векторов дистрибутивно относительно суммы

[a+b,c]= [a,c] +[b,c].

Дата добавления: 2014-11-09