КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения
Проекция вектора на ось. Свойства проекций Определение 1.11. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка этой оси, заключённого между проекциями точек A и B, взятая со знаком «+», если направление отрезка совпадает с направлением оси , и со знаком «-» в противоположном случае. B A A B l l В 1 А 1 А 1 + В 1 -
Проекцию вектора на ось l обозначают следующим образом: . Проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью l и вектором, т.е: , где под углом между осью и вектором понимается наименьший угол, на который нужно повернуть ось до совпадения с направлением вектора (рис. 1.4). B ö a A
А 1 В 1 l Рис. 1.4 Отсюда, в частности следует, что равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
Определение 1.12. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.∙ , где j — угол между векторами и . Заметив, что | | cosj — есть проекция вектора на вектор , имеем . Аналогично, . Рассмотрим основные свойства скалярного произведения: 1) Скалярное произведение обладает переместительным свойством: . 2) Скалярное произведение векторов обладает распределительным свойством: . 3) Чтобы умножить скалярное произведение на число достаточно умножить на это число один из сомножителей . 4) . Отсюда . 5) Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из векторов-сомножителей является нулевым вектором, или если данные векторы перпендикулярны. 1.1.6. Разложение вектора по ортам в пространстве R3. Понятие вектора в координатной форме
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат OXYZ в пространстве , и произвольный вектор z
М3
М О М2 y
М1 x Р Рис. 1.5 Из точки M конца вектора проведём прямую, параллельную оси OZ до пересечения в точке P с плоскостью OXY (рис. 1.5). Обозначим через M1 и M2 — соответственно, проекции точки P на оси OX и OY. Пусть M3 — проекция точки M на ось OZ. Тогда будем иметь: . Заменив векторы и равными им векторами и , получим . (1.1) Равенство (1.1) показывает, что всякий вектор в R3 можно представить в виде суммы трёх векторов, лежащих на осях координат. От точки O в направлении каждой оси отложим по вектору длины, равной 1. Обозначим эти вектора через и , соответственно и назовём их ортами. Обозначим через x, y и z — проекции вектора на координатные оси OX, OY и OZ, соответственно. Так как векторы и лежат на одной оси OX, то = . Аналогично, = , = . Следовательно, равенство (1.1) может быть переписано в виде . (1.2) Равенство (1.2) называют разложением вектора по ортам . Вместо полной записи (1.2) часто пользуются сокращенной ={ x, y, z }, где x, y, z — проекции вектора на координатные оси, которые будем называть координатами вектора . Соответственно орты имеют координаты: , , . На плоскости разложение вектора по ортам имеет вид (рис. 1.6). Рис. 1.6
Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |