Полярные координаты

Прямоугольной системы координат

Частные случаи преобразования

1. Перенос начала: , .

.

2. Поворот координатных векторов на угол a: , .

Задания для самостоятельной работы

1. Определите (приближенно), чему равна величина направленного угла (рис. 48, а, б).

2. Может ли величина направленного угла между векторами быть равна ? ? ? Почему?

3. Найдите формулы преобразования прямоугольной системы координат, если координатные векторы повернуты на угол , а начало координат перенесено в точку .

4. Как по формулам преобразования координат узнать, какая система координат подвергается преобразованию: аффинная или прямоугольная?

5. Сделайте чертежи старой и новой систем координат для частных случаев преобразования прямоугольной декартовой системы координат.

Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.

Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.

Пара, состоящая из точки О и единичного вектора , называется полярной системой координат и обозначается или . Направленная прямая называется полярной осью, точка О - полюсом (рис. 49).

О

Пусть М – произвольная точка плоскости. Расстояние от точки О до точки М называется полярным радиусом точки М.

  .

Таким образом, . Если М совпадает с О, то . Для любой точки М ее полярный радиус

Направленный угол называется полярным углом точки М (рис. 50).

  .

Если М совпадает с полюсом О, то j - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол

Полярный радиус r и полярный угол j называются полярными координатами точки М.

На рис. 51 построены точки , , по их полярным координатам.

Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.

Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости, , в . Присоединим к полярной системе единичный вектор , ортогональный вектору так, чтобы базис , был правым (рис. 52).

, .

Пусть М(х;у) в . Тогда ; (рис. 52).

 

Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:

Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:

, откуда (корень берется со знаком «+», т.к. ). Þ Þ ; .

  , , .

Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к полярным:

Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только или только , т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 53). Поэтому правильно найти полярный угол j вы сможете, только если одновременно вычислите и .

Задания для самостоятельной работы

1. Может ли полярный угол быть равным ? ? ? ? Почему?

2. Постройте точки , , .

3. Найдите прямоугольные декартовы координаты точки .

4. Известны прямоугольные декартовы координаты точки . Не выполняя построения точки Q, найдите ее полярные координаты.

5. Выведите формулу расстояния между двумя точками и , заданными полярными координатами.

Дата добавления: 2014-12-10