Правило Крамера

Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.

Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

AX = B

(1)

описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

(2)

где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i -го столбца столбцом свободных членов матрицы B:

(3)

Доказательство теоремы разобьем на три части:

1. Решение системы (1) существует и является единственным.
2. Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
3. Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

(4)

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

Используя формулу (4), получим выражение для i -го элемента. Для этого нужно умножить i -ую строку матрицы

на столбец B.

Учитывая, что i -ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

(5)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя D_i по элементам i -го столбца и, следовательно,

(6)

Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

(7)

влекут за собой матричное уравнение (1).

Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:

(8)

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

(9)

Согласно Лемме 1 теоремы об обратной матрице,

(10)

где – дельта-символ Кронекера.

Учитывая, что дельта-символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

(11)

Пример.

Решить методом Крамера систему линейных уравнений:

Решение. Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.

Таким образом,

Ранее эта задача была решена методом Гаусса (Пример 1).

Дата добавления: 2014-12-16